W teorii funkcji specjalnych w matematyce funkcje Horna ( nazwane na cześć Jakoba Horna ) to 34 różne zbieżne serie hipergeometryczne rzędu drugiego (tj. posiadające dwie zmienne niezależne), wyliczone przez Horna (1931). błąd harvtxt: brak celu: CITEREFHorn1931 ( pomoc ) (poprawione przez Borngässer (1933) ). Są one wymienione w ( Erdélyi 1953 , sekcja 5.7.1) błąd harv: brak celu: CITEREFERdélyi1953 ( pomoc ) . BC Carlson ujawnił problem ze schematem klasyfikacji funkcji Horna. Łącznie 34 funkcje Horna można dalej podzielić na 14 kompletnych funkcji hipergeometrycznych i 20 konfluentnych funkcji hipergeometrycznych. Pełne funkcje wraz z dziedziną zbieżności to:
fa
1
( α ; β ,
β ′
; γ ; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m + n
( β
)
m
(
β ′
)
n
( γ
)
m + n
z
m
w
n
m ! N
!
/
;
|
z
|
< 1 ∧
|
w
|
< 1
{\ Displaystyle F_ {1} (\ alfa; \ beta, \ beta '; \ gamma; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^{\infty}}{\frac {(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma)_{m+n}}} {\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}
fa
2
( α ; β ,
β ′
; γ ,
γ ′
; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m + n
( β
)
m
(
β ′
)
n
( γ
)
m
(
γ ′
)
n
z
m
w
n
m ! n !
/
;
|
z
|
+
|
w
|
< 1
{\ Displaystyle F_ {2} (\ alfa; \ beta, \ beta '; \ gamma, \ gamma '; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ { n=0}^{\infty}{\frac {(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma)_{m} (\gamma ')_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|<1}
fa
3
( α ,
α ′
; β ,
β ′
; γ ; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m
(
α ′
)
n
( β
)
m
(
β ′
)
n
( γ
)
m + n
z
m
w
n
m ! n !
/
;
|
z
|
< 1 ∧
|
w
|
< 1
{\ Displaystyle F_ {3} (\ alfa, \ alfa '; \ beta, \ beta '; \ gamma; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ { n=0}^{\infty}{\frac {(\alpha)_{m}(\alpha ')_{n}(\beta)_{m}(\beta')_{n}}{( \gamma)_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}
fa
4
( α ; β ; γ ,
γ ′
; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m + n
( β
)
m + n
( γ
)
m
(
γ ′
)
n
z
m
w
n
m ! N
!
/
;
|
z
|
+
|
w
|
< 1
{\ Displaystyle F_ {4} (\ alfa; \ beta; \ gamma, \ gamma '; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^{\infty}}{\frac {(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m+n}}{(\gamma)_{m}(\gamma ')_{n}}} {\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;{\sqrt {|z|}}+{\sqrt {|w|}}<1}
sol
1
( α ; β ,
β ′
; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m + n
( β
)
n - m
(
β ′
)
m - n
z
m
w
n
m ! n !
/
;
|
z
|
+
|
w
|
< 1
{\ Displaystyle G_ {1} (\ alfa; \ beta, \ beta '; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty }(\alpha )_{m+n}(\beta )_{nm}(\beta ')_{mn}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!} }/;|z|+|w|<1}
sol
2
( α ,
α ′
; β ,
β ′
; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m
(
α ′
)
n
( β
)
n - m
(
β ′
)
m - n
z
m
w
m
_
! n !
/
;
|
z
|
< 1 ∧
|
w
|
< 1
{\ Displaystyle G_ {2} (\ alfa, \ alfa '; \ beta, \ beta '; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0 } ^{\infty }(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta)_{nm}(\beta ')_{mn}{\frac {z^{m}w ^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\kraina |w|<1}
sol
3
( α ,
α ′
; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 n - m
(
α ′
)
2 m - n
z
m
w
n
m ! n !
/
; 27
|
z
|
2
|
w
|
2
+ 18
|
z
|
|
w
|
± 4 (
|
z
|
-
|
w
|
) < 1
{\ Displaystyle G_ {3} (\ alfa, \ alfa '; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n=0}^{\infty}(\alpha )_{2n-m}(\alpha ')_{2m-n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n !}}/;27|z|^{2}|w|^{2}+18|z||w|\pm 4(|z|-|w|)<1}
H.
1
( α ; β ; γ ; δ ; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m - n
( β
)
m + n
( γ
)
n
( δ
)
m
z
m
w
n
m ! n !
/
; 4
|
z
|
|
w
|
+ 2
|
w
|
−
|
w
|
2
< 1
{\ Displaystyle H_ {1} (\ alfa; \ beta; \ gamma; \ delta; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^{\infty}{\frac {(\alpha)_{mn}(\beta)_{m+n}(\gamma)_{n}}{(\delta)_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z||w|+2|w|-|w|^{2}<1}
H.
2
( α ; β ; γ ; δ ; ϵ ; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m - n
( β
)
m
( γ
)
n
( δ
)
n
( δ
)
m
z
m
w
m
_
! n !
/
; 1
/
|
w
|
−
|
z
|
< 1
{\ Displaystyle H_ {2} (\ alfa; \ beta; \ gamma; \ delta; \ epsilon; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0}^{\infty}{\frac {(\alpha)_{mn}(\beta)_{m}(\gamma)_{n}(\delta)_{n}}{(\delta)_ {m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;1/|w|-|z|<1}
H.
3
( α ; β ; γ ; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m + n
( β
)
n
( γ
)
m + n
z
m
w
n
m ! n !
/
;
|
z
|
+
|
w
|
2
−
|
w
|
<
0
{\ Displaystyle H_ {3} (\ alfa; \ beta; \ gamma; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\frac {(\alpha)_{2m+n}(\beta)_{n}}{(\gamma)_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n} }{m!n!}}/;|z|+|w|^{2}-|w|<0}
H.
4
( α ; β ; γ ; δ ; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m + n
( β
)
n
( γ
)
m
( δ
)
n
z
m
w
n
m ! n !
/
;
4
|
z
|
+ 2
|
w
|
−
|
w
|
2
< 1
{\ Displaystyle H_ {4} (\ alfa; \ beta; \ gamma; \ delta; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^{\infty }{\frac {(\alpha)_{2m+n}(\beta)_{n}}{(\gamma)_{m}(\delta)_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z|+2|w|-|w|^{2}<1}
H.
5
( α ; β ; γ ; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m + n
( β
)
n - m
( γ
)
n
z
m
w
n
m ! n !
/
; 16
|
z
|
2
− 36
|
z
|
|
w
|
± ( 8
|
z
|
-
|
w
|
+ 27
|
z
|
|
w
|
2
) < - 1
{\ Displaystyle H_ {5} (\ alfa; \ beta; \ gamma; z, w) \ równoważnik \ suma _ { m=0}^{\infty}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(\alpha)_{2m+n}(\beta)_{nm}}{(\gamma) _{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;16|z|^{2}-36|z||w|\pm (8 |z|-|w|+27|z||w|^{2})<-1}
H.
6
( α ; β ; γ ; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m - n
( β
)
n - m
( γ
)
n
z
m
w
n
m ! n !
/
;
|
z
|
|
w
|
2
+
|
w
|
< 1
{\ Displaystyle H_ {6} (\ alfa; \ beta; \ gamma; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty }(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{nm}(\gamma )_{n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/ ;|z||w|^{2}+|w|<1}
H.
7
( α ; β ; γ ; δ ; z , w ) ≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m - n
( β
)
n
( γ
)
n
( δ
)
m
z
m
w
n
m ! n !
/
;
4
|
z
|
+ 2
/
|
s
|
− 1
/
|
s
|
2
< 1
{\ Displaystyle H_ {7} (\ alfa; \ beta; \ gamma; \ delta; z, w) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^{\infty}}{\frac {(\alpha)_{2m-n}(\beta)_{n}(\gamma)_{n}}{(\delta)_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z|+2/|s|-1/|s|^{2}<1}
podczas gdy funkcje konfluentne obejmują:
Φ
1
(
α ; β ; γ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m + n
( β
)
m
( γ
)
m + n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle \ Phi _ {1} \ lewo (\ alfa; \ beta; \ gamma; x, y \ prawej) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^{\infty }{\frac {(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m}}{(\gamma)_{m+n}}}{\frac {x^{m} y^{n}}{m!n!}}}
Φ
2
(
β ,
β ′
; γ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( β
)
m
(
β ′
)
n
( γ
)
m + n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle \ Phi _ {2} \ lewo (\ beta, \ beta '; \ gamma; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0 } ^{\infty }{\frac {(\beta)_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma)_{m+n}}}{\frac {x^{m} y^{n}}{m!n!}}}
Φ
3
(
β ; γ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( β
)
m
( γ
)
m + n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle \ Phi _ {3} \ lewo (\ beta; \ gamma; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty }{\frac {(\beta)_{m}}{(\gamma)_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}} }
Ψ
1
(
α ; β ; γ ,
γ ′
; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m + n
( β
)
m
( γ
)
m
(
γ ′
)
n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle \ Psi _ {1} \ lewo (\ alfa; \ beta; \ gamma, \ gamma '; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ { n=0}^{\infty}{\frac {(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m}}{(\gamma)_{m}(\gamma ')_{n} }}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
Ψ
2
(
α ; γ ,
γ ′
; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m + n
( γ
)
m
(
γ ′
)
n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle \ Psi _ {2} \ lewo (\ alfa; \ gamma, \ gamma '; x, y \ prawej) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0 } ^{\infty }{\frac {(\alpha)_{m+n}}{(\gamma)_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m} y^{n}}{m!n!}}}
Ξ
1
(
α ,
α ′
; β ; γ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m
(
α ′
)
n
( β
)
m
( γ
)
m + n
(
γ ′
)
n
x
mój
rz
_
m ! n !
{\ Displaystyle \ Xi _ {1} \ lewo (\ alfa, \ alfa '; \ beta; \ gamma; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ { n=0}^{\infty}{\frac {(\alpha)_{m}(\alpha ')_{n}(\beta)_{m}}{(\gamma)_{m+n} (\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
Ξ
2
(
α ; β ; γ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m
( α
)
m
( γ
)
m + n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle \ Xi _ {2} \ lewo (\ alfa; \ beta; \ gamma; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^{\infty}}{\frac {(\alpha)_{m}(\alpha)_{m}}{(\gamma)_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^ {n}}{m!n!}}}
Γ
1
(
α ; β ,
β ′
; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m
( β
)
n - m
(
β ′
)
m - n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle \ Gamma _ {1} \ lewo (\ alfa; \ beta, \ beta '; x, y \ po prawej) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0 }^{\infty }(\alpha )_{m}(\beta )_{nm}(\beta ')_{mn}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n !}}}
Γ
2
(
β ,
β ′
; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( β
)
n - m
(
β ′
)
m - n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle \ Gamma _ {2} \ lewo (\ beta, \ beta '; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ { \infty }(\beta )_{nm}(\beta ')_{mn}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
H.
1
(
α ; β ; δ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m - n
( β
)
m + n
( δ
)
m
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {1} \ lewo (\ alfa; \ beta; \ delta; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ { \infty}{\frac {(\alpha)_{mn}(\beta)_{m+n}}{(\delta)_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n }}{m!n!}}}
H.
2
(
α ; β ; γ ; δ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m - n
( β
)
m
( γ
)
n
( δ
)
m
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {2} \ lewo (\ alfa; \ beta; \ gamma; \ delta; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0 } ^{\infty }{\frac {(\alpha)_{mn}(\beta)_{m}(\gamma)_{n}}{(\delta)_{m}}}{\frac { x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
H.
3
(
α ; β ; δ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m - n
( β
)
m
( δ
)
m
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {3} \ lewo (\ alfa; \ beta; \ delta; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ { \infty}{\frac {(\alpha)_{mn}(\beta)_{m}}{(\delta)_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}} {m!n!}}}
H.
4
(
α ; γ ; δ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m - n
( γ
)
n
( δ
)
n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {4} \ lewo (\ alfa; \ gamma; \ delta; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ { \infty}{\frac {(\alpha)_{mn}(\gamma)_{n}}{(\delta)_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}} {m!n!}}}
H.
5
(
α ; δ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m - n
( δ
)
m
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {5} \ lewo (\ alfa; \ delta; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\frac {(\alpha)_{mn}}{(\delta)_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
H.
6
(
α ; γ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m + n
( γ
)
m + n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {6} \ lewo (\ alfa; \ gamma; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\frac {(\alpha)_{2m+n}}{(\gamma)_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}} }
H.
7
(
α ; γ ; δ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m + n
( γ
)
m
( δ
)
n
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {7} \ lewo (\ alfa; \ gamma; \ delta; x, y \ prawej) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ { \infty}{\frac {(\alpha )_{2m+n}}{(\gamma)_{m}(\delta)_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n }}{m!n!}}}
H.
8
(
α ; β ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m - n
( β
)
n - m
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {8} \ lewo (\ alfa; \ beta; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (\alpha)_{2m-n}(\beta)_{nm}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
H.
9
(
α ; β ; δ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m - n
( β
)
n
( δ
)
m
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {9} \ lewo (\ alfa; \ beta; \ delta; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ { \infty}{\frac {(\alpha)_{2m-n}(\beta)_{n}}{(\delta)_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n }}{m!n!}}}
H.
10
(
α ; δ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
2 m - n
( δ
)
m
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {10} \ lewo (\ alfa; \ delta; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\frac {(\alpha)_{2m-n}}{(\delta)_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
H.
11
(
α ; β ; γ ; δ ; x , y
)
≡
∑
m =
0
∞
∑
n =
0
∞
( α
)
m - n
( β
)
n
( γ
)
n
( δ
)
m
x
m
y
n
m ! n !
{\ Displaystyle H_ {11} \ lewo (\ alfa; \ beta; \ gamma; \ delta; x, y \ prawo) \ równoważnik \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0 } ^ {\infty }{\frac {(\alpha)_{mn}(\beta)_{n}(\gamma)_{n}}{(\delta)_{m}}}{\frac { x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
Zauważ, że niektóre funkcje pełne i konfluentne mają ten sam zapis.
Borngässer, Ludwig (1933), Über hypergeometrische funkionen zweier Veränderlichen , rozprawa, Darmstadt
Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Wyższe funkcje transcendentalne. Tom I (PDF) , McGraw-Hill Book Company, Inc., Nowy Jork-Toronto-Londyn, MR 0058756
Horn, J. (1935), "Hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 105 (1): 381–407, doi : 10.1007/BF01455825
Matematyka J. Horna . Ann. 111 , 637 (1933)
Srivastava, HM; Karlsson, Per W. (1985), Wiele szeregów hipergeometrycznych Gaussa , Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications , Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-85312-602-7 MR 0834385
