Funkcja odległości Weyla

W geometrii kombinatorycznej funkcja odległości Weyla jest funkcją, która zachowuje się pod pewnymi względami jak funkcja odległości przestrzeni metrycznej , ale zamiast przyjmować wartości w dodatnich liczbach rzeczywistych, przyjmuje wartości w grupie odbić , zwanej grupą Weyla ( nazwany na cześć Hermanna Weyla ). Ta funkcja odległości jest zdefiniowana na zbiorze komór w strukturze matematycznej zwanej budynkiem , a jego wartość dla pary komór to minimalna sekwencja odbić (w grupie Weyla), aby przejść z jednej komory do drugiej. Sąsiednia sekwencja komór w budynku jest znana jako galeria, więc funkcja odległości Weyla jest sposobem kodowania informacji o minimalnej galerii między dwiema komorami. W szczególności liczba odbić przechodzących z jednej komory do drugiej pokrywa się z długością minimalnej galerii między dwiema komorami, a więc daje naturalną metrykę (metrykę galerii) budynku. Według Abramenko & Brown (2008) funkcja odległości Weyla jest czymś w rodzaju wektora geometrycznego : koduje zarówno wielkość (odległość) między dwiema komorami budynku, jak i kierunek między nimi.

Definicje

Zapisujemy tutaj definicje z Abramenko & Brown (2008) . Niech Σ( W , S ) będzie zespołem Coxetera związanym z grupą W generowaną przez zbiór odbić S . Wierzchołki Σ( W , S ) są elementami W , a komory kompleksu są cosetami S w W . Wierzchołki każdej komory można pokolorować w sposób jeden do jednego przez elementy S tak, aby żadne sąsiednie wierzchołki kompleksu nie otrzymały tego samego koloru. Ta kolorystyka, choć zasadniczo kanoniczna, nie jest całkiem wyjątkowa. Kolorystyka danej komory nie jest jednoznacznie zdeterminowana przez jej realizację jako cosetu S . Ale po ustaleniu zabarwienia pojedynczej komory reszta kompleksu Coxeter jest wyjątkowo kolorowa. Napraw taką kolorystykę kompleksu.

Galeria to sekwencja sąsiadujących ze sobą komnat

${\ Displaystyle C_ {0}, C_ {1}, \ kropki, C_ {n}.}$

$komór$ sąsiadują ze sobą, każda kolejna para wspólny wierzchołek Oznacz kolor tego wierzchołka przez ${\ displaystyle s_ {i}}$ . Funkcja odległości Weyla między ${0}$ jest zdefiniowana przez $}$

${\ Displaystyle \ delta (C_ {0}, C_ {n}) = s_ {1} s_ {2} \ cdots s_ {n}.}$

Można wykazać, że nie zależy to od wyboru galerii łączącej ${n}}$$C_$ \ .

Teraz budynek jest uproszczonym kompleksem zorganizowanym w mieszkania, z których każdy jest kompleksem Coxetera (spełniającym pewne aksjomaty koherencji). Budynki można pokolorować, ponieważ kompleksy Coxeter, które je tworzą, można pokolorować. Kolorystyka budynku wiąże się z jednolitym wyborem grupy Weyla dla tworzących go kompleksów Coxetera, co pozwala traktować go jako zbiór słów na zbiorze kolorów wraz z relacjami. Teraz, jeśli $jest$ , to ${\ displaystyle C_ {0}}$ i $\ displaystyle C_ {n}}$ przez

${\ Displaystyle \ delta (C_ {0}, C_ {n}) = s_ {1} s_ {2} \ cdots s_ {n}}$

gdzie ${\ displaystyle s_ {i}}$ są jak powyżej. Podobnie jak w przypadku $C_ {n}}$ Coxetera, nie zależy to od wyboru galerii łączącej komory $displaystyle$ do .

$n$ galerii jest definiowana ${0},C_{n})}$ minimalna długość słowa potrzebna do wyrażenia $\$ w grupie Weyl. Symbolicznie ${\ Displaystyle d (C_ {0}, C_ {n}) = \ ell (\ delta (C_ {0}, C_ {n}))$ }

Nieruchomości

Funkcja odległości Weyla spełnia kilka właściwości, które są równoległe do funkcji odległości w przestrzeniach metrycznych:

• $) = 1}$$element$ wtedy i tylko wtedy, gdy ( grupy 1 odpowiada pustemu słowu na S ). Odpowiada to właściwości metryki galerii ( Abramenko & Brown 2008 ) ${\ Displaystyle d (C, D) = 0}$ do ${\ Displaystyle C =$ , P. 199):
• ${\ Displaystyle \ delta (C, D) = \ delta (D, C) ^ {- 1}}$ (odwrócenie odpowiada odwróceniu słów w alfabecie S ). Odpowiada to symetrii metryki galerii ${\ Displaystyle d (C, D) = d (D, C)} .$
• δ $= s \ w S}$ i ${\ Displaystyle \ delta (C, D) = w }$ , to jest albo w albo sw . $\ Displaystyle \ delta (C', D)$ } Ponadto, jeśli ${\ Displaystyle \ ell (sw) = \ ell (w) + 1}$ , wtedy ${\ Displaystyle \ delta (C', D) = sw}$ . Odpowiada to nierówności trójkąta.

Abstrakcyjna charakterystyka budynków

Oprócz właściwości wymienionych powyżej funkcja odległości Weyla spełnia następującą właściwość:

• Jeśli ${\ Displaystyle \ delta (C, D) = w}$ , to dla każdego ${\ Displaystyle s \ w S}$ jest komora $\ Displaystyle C '$ } takie, że ${\ Displaystyle \ delta (C', C) = s}$ i ${\ Displaystyle \ delta (C ', D) = sw}$ .

W rzeczywistości ta właściwość wraz z dwiema wymienionymi w sekcji „Właściwości” dostarcza abstrakcyjnej „metrycznej” charakterystyki budynków, jak następuje. Załóżmy, że ( W , S ) jest systemem Coxetera składającym się z grupy Weyla W generowanej przez odbicia należące do podzbioru S. Budynek typu ( W , S ) to para składająca się ze zbioru C komór i funkcji :

${\ Displaystyle \ delta: C \ razy C \ do W}$

tak, aby spełnione były trzy wyżej wymienione właściwości. Wtedy C przenosi kanoniczną strukturę budynku, w której δ jest funkcją odległości Weyla.

• Abramenko, P.; Brown, K. (2008), Budynki: teoria i zastosowania , Springer

Linki zewnętrzne

• Mike Davis, Kohomologia grup i budynków Coxeter , MSRI 2007.