Funkcja quasi-okresowa

W matematyce funkcja quasiperiodyczna to funkcja , która ma pewne podobieństwo do funkcji okresowej. Funkcja $\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f (z + \ omega) = g (z, f (z))}$ jest quasi-okresowa z quasi-okresem $,$ jeśli , gdzie ${\ displaystyle g}$ jest „ prostszą ” funkcją niż ${\ displaystyle f}$ . Niejasne jest, co to znaczy być „ prostszym ”.

Funkcja f ( x )= x 2π + sin( x ) spełnia równanie f ( x +2π)= f ( x ) + 1, a zatem jest arytmetyczną quasi-okresową.

Prostym przypadkiem (czasami nazywanym quasi-okresowym arytmetycznym) jest sytuacja, w której funkcja jest zgodna z równaniem:

{\ Displaystyle f (z + \ omega) = f (z) + C}

Innym przypadkiem (czasami nazywanym quasi-okresowym geometrycznym) jest sytuacja, w której funkcja jest zgodna z równaniem:

{\ Displaystyle f (z + \ omega) = Cf (z)}

Przykładem tego jest funkcja theta Jacobiego , gdzie

{\ Displaystyle \ vartheta (z + \ tau; \ tau) = e ^ {- 2 \ pi iz - \ pi i\tau }\vartheta (z;\tau ),}

$,$ że dla ustalonego quasi $okres$ ; jest również okresowy z okresem pierwszym. Innego przykładu dostarcza funkcja sigma Weierstrassa , która jest quasi-okresowa w dwóch niezależnych quasiokresach, okresach odpowiedniej funkcji Weierstrassa ℘ .

Funkcje z addytywnym równaniem funkcyjnym

{\ Displaystyle f (z + \ omega) = f (z) + az + b \}

nazywane są również quasiperiodycznymi. Przykładem tego jest funkcja zeta Weierstrassa , gdzie

{\ Displaystyle \ zeta (z + \ omega, \ Lambda) = \ zeta (z, \ Lambda) + \ eta (\ omega ,\Lambda )\ }

dla z -niezależnego η, gdy ω jest okresem odpowiedniej funkcji Weierstrassa ℘.

$}$ szczególnym przypadku, w którym mówimy $,$ $jest$ z okresem w kratce .

Sygnały quasi-okresowe

Sygnały quasi-okresowe w sensie przetwarzania dźwięku nie są funkcjami quasi-okresowymi w znaczeniu tutaj zdefiniowanym; zamiast tego mają charakter funkcji prawie okresowych i należy zapoznać się z tym artykułem. Bardziej niejasne i ogólne pojęcie quasi-okresowości ma jeszcze mniej wspólnego z funkcjami quasi-okresowymi w sensie matematycznym.

Użytecznym przykładem jest funkcja:

{\ Displaystyle f (z) = \ sin (Az) + \ sin (Bz)}

Jeśli stosunek A / B jest racjonalny, będzie to miał prawdziwy okres, ale jeśli A / B jest irracjonalny, nie ma prawdziwego okresu, ale następstwo coraz bardziej dokładnych „prawie” okresów.

Zobacz też

Ruch quasi-okresowy

Linki zewnętrzne

Funkcja quasiperiodyczna w PlanetMath