Funkcja teta Ramanujana

W matematyce , zwłaszcza w teorii $q$ -analogowej , funkcja theta Ramanujana uogólnia postać funkcji theta Jacobiego , jednocześnie wychwytując ich ogólne właściwości. W szczególności potrójny iloczyn Jacobiego przybiera szczególnie elegancką formę, gdy jest zapisany w kategoriach theta Ramanujana. Nazwa funkcji pochodzi od imienia matematyka Srinivasy Ramanujana .

Definicja

Funkcja theta Ramanujana jest zdefiniowana jako

{\ Displaystyle f (a, b) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\infty}a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}}

dla $| od | < 1$ . Następnie przybiera formę potrójnej tożsamości produktu Jacobiego

{\ Displaystyle f (a, b) = (-a; ab) _ {\ infty} \; (-b; ab) _ {\ infty} \; (ab; ab) _ {\ infty}.}

$_$ wyrażenie $-$ _ _ _ Tożsamości, które z tego wynikają, obejmują

{\ Displaystyle \ varphi (q) = f ( q,q)=\suma _{n=-\infty}^{\infty}q^{n^{2}}={\left(-q;q^{2}\right)_{\infty} ^{2}\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty}}}

I

{\ Displaystyle \ psi (q) = f\left(q,q^{3}\right)=\suma _{n=0}^{\infty}q^{\frac {n(n+1)}{2}}={\left( q^{2};q^{2}\right)_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}}

I

{\ Displaystyle f (-q )=f\left(-q,-q^{2}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {n( 3n-1)}{2}}=(q;q)_{\infty}}

Ta ostatnia jest funkcją Eulera , która jest ściśle związana z funkcją eta Dedekinda . Funkcję theta Jacobiego można zapisać w kategoriach funkcji theta Ramanujana jako:

{\ Displaystyle \ vartheta (w, q) = f \ lewo (qw ^ {2}, qw ^ {- 2} \ prawo)}

Reprezentacje integralne

Mamy następującą reprezentację całkową dla pełnej dwuparametrowej postaci funkcji theta Ramanujana:

{\ Displaystyle f (a, b) = 1 + \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {2ae ^ {- {\ Frac {1} {2}} t ^ {2}}} {\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {1-a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)}{a ^{3}b-2a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)+1}}\right]dt+\int _{0}^{ \infty}{\frac {2be^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {1-b{\ sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)}{ab^{3}-2b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt { \log ab}}\,t\right)+1}}\right]dt}

Szczególne przypadki funkcji theta Ramanujana określone przez $φ (q) := f (q, q)$ OEIS : A000122 i $ψ (q) := f (q, q 3)$ OEIS : A010054 mają również następujące reprezentacje całkowe:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varphi (q) & = 1 + \ int _ {0} ^ {\ infty}} {\ Frac {e ^ {- {\ Frac {1} {2}} t ^ { 2}}}{\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {4q\left(1-q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log q}}\,t \right)\right)}{q^{4}-2q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log q}}\,t\right)+1}}\right]dt\\ [6pt]\psi (q)&=\int _{0}^{\infty}{\frac {2e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt { 2\pi }}}\left[{\frac {1-{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log q}}\,t\right)}{q-2{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log q}}\,t\right)+1}}\right]dt\end{wyrównane}}}

Prowadzi to do kilku całek przypadków specjalnych dla stałych zdefiniowanych przez te funkcje, gdy $q := e - kπ$ (por. jawne wartości funkcji theta ). W szczególności mamy to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varphi \ lewo (e ^ {- k \ pi} \ prawej) & = 1 + \ int _ {0} ^ {\ infty} } {\ Frac {e ^ {- {\ frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {4e^{k\pi}\left(e^{2k\pi}- \cos \left({\sqrt {2\pi k}}\,t\right)\right)}{e^{4k\pi}-2e^{2k\pi}\cos \left({\sqrt { 2\pi k}}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({ \frac {3}{4}}\right)}}&=1+\int _{0}^{\infty}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{ 2}}}{\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {4e^{\pi}\left(e^{2\pi}-\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)\right)}{e^{4\pi }-2e^{2\pi }\cos \left({\sqrt {2\pi}}\,t\right)+1 }}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}&=1+\int _{0}^{\infty}}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {4e^{2\pi}\left(e^{4\pi}-\ cos \left(2{\sqrt {\pi}}\,t\right)\right)}{e^{8\pi}-2e^{4\pi}\cos \left(2{\sqrt {\ pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac { 3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}}{2^{\frac {1}{4}}3^{\frac { 3}{8}}}}&=1+\int _{0}^{\infty}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\ sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {4e^{3\pi}\left(e^{6\pi}-\cos \left({\sqrt {6\pi}}\,t \right)\right)}{e^{12\pi}-2e^{6\pi}\cos \left({\sqrt {6\pi}}\,t\right)+1}}\right] dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{5^{\frac {3}{4}}}}&=1+\int _{0}^{\infty}{\frac { e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {4e^{5\pi}\left(e^ {10\pi }-\cos \left({\sqrt {10\pi}}\,t\right)\right)}{e^{20\pi}-2e^{10\pi}\cos \left ({\sqrt {10\pi}}\,t\right)+1}}\right]dt\end{wyrównane}}}

i to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ psi \ lewo (e ^ {- k \ pi} \ prawej) & = \ int _ {0} ^ {\ infty}} {\ Frac {e ^ {- {\ frac { 1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {k\pi}}\,t\right) -e^{\frac {k\pi}{2}}}{\cos \left({\sqrt {k\pi}}\,t\right)-\cosh {\frac {k\pi}}{2 }}}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right) }}\cdot {\frac {e^{\frac {\pi}}{8}}}{2^{\frac {5}{8}}}}&=\int _{0}^{\infty} {\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\pi}}\,t\right)-e^{\frac {\pi}}{2}}}{\cos \left({\sqrt {\pi}}\,t\right)-\cosh { \frac {\pi }{2}}}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {3 }{4}}\right)}}\cdot {\frac {e^{\frac {\pi }{4}}}{2^{\frac {5}{4}}}}&=\int _ {0}^{\infty}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi}}}\left[{\frac { \cos \left({\sqrt {2\pi}}\,t\right)-e^{\pi }}{\cos \left({\sqrt {2\pi}}\,t\right)- \cosh \pi }}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\ dobrze)}}\cdot {\frac {{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}\,e^{\frac {\pi }{16}}}{2^{ \frac {7}{16}}}}&=\int _{0}^{\infty}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{ \sqrt {2\pi}}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\frac {\pi}}}}\,t\right)-e^{\frac {\ pi }{4}}}{\cos \left({\sqrt {\frac {\pi}}{2}}}\,t\right)-\cosh {\frac {\pi}}{4}}}} \right]dt\end{wyrównane}}}

Zastosowanie w teorii strun

Funkcja theta Ramanujana jest używana do wyznaczania wymiarów krytycznych w teorii strun bozonowych , teorii superstrun i teorii M.

Bailey, WN (1935). Uogólniony szereg hipergeometryczny . Traktaty Cambridge z matematyki i fizyki matematycznej . Tom. 32. Cambridge: Cambridge University Press.
Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Podstawowe serie hipergeometryczne . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom. 96 (wyd. 2). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83357-4 .
„Funkcja Ramanujana” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Kaku, Michio (1994). Hiperprzestrzeń: naukowa odyseja przez równoległe wszechświaty, zakrzywienia czasu i dziesiąty wymiar . Oksford: Oxford University Press. ISBN 0-19-286189-1 .
Weisstein, Eric W. „Funkcje Ramanujana Theta” . MathWorld .