Funkcja zeta Wittena

W matematyce funkcja zeta Wittena jest funkcją związaną z systemem korzeniowym , który koduje stopnie nieredukowalnych reprezentacji odpowiedniej grupy Liego . Te funkcje zeta zostały wprowadzone przez Dona Zagiera, który nazwał je na cześć badań Edwarda Wittena nad ich specjalnymi wartościami (między innymi). Zauważ, że w Witten funkcje zeta nie pojawiają się same w sobie jako jawne obiekty.

Definicja

Jeśli jest $displaystyle G}$ , półprostą grupą Liego, powiązana funkcja zeta Wittena jest (meromorficzną kontynuacją) serii sol {\

{\ Displaystyle \ zeta _ {G} (s) = \ suma _ {\ rho} {\ Frac {1} {(\ dim \ rho) ^ {S}}},}

gdzie suma przekracza klasy równoważności $reprezentacji$ .

W przypadku, gdy jest połączona i po prostu $displaystyle$ , zgodność między reprezentacjami algebry ${$ jej algebry Liego, wraz ze wzorem wymiarów Weyla, implikuje, $}$ można zapisać jako

{\ Displaystyle \ suma _ {m_ {1}, \ kropki, m_ { r}>0}\prod _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\frac {1}{\langle \alpha ^{\lor},m_{1}\lambda _{1}+\cdots +m_{r}\lambda _{r}\rangle ^{s}}},}

gdzie ${\ Displaystyle \ Phi ^ {+}}$ oznacza zbiór dodatnich pierwiastków, ${\ Displaystyle \ {\ lambda _ {i} \}}$ to zbiór prostych pierwiastków i ${\ displaystyle r }$ to ranga.

Przykłady

${\ Displaystyle \ zeta _ {SU (2)} (s) = \ zeta (s)}$ , funkcja zeta Riemanna.
${\ Displaystyle \ zeta _ {SU (3)} (s) = \ suma _ {x = 1} ^ {\ infty} \ suma _ {y = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {( xy(x+y)/2)^{s}}}.}$

Odcięta zbieżności

Jeśli jest prosta i po prostu połączona, odcięta zbieżności to ζ $} (s)}$ $\ Displaystyle \ zeta _ {$ ${\ Displaystyle r / \ kappa}$ , gdzie ${\ displaystyle r}$ to ranga i ${\ Displaystyle \ kappa =|\ Phi ^ {+}|}$ . Jest to twierdzenie Alexa Lubotzky'ego i Michaela Larsena. Jokke Häsä i Alexander Stasinski podają nowy dowód, który daje bardziej ogólny wynik, a mianowicie podaje wyraźną wartość (w kategoriach prostej kombinatoryki) odciętej zbieżności dowolnej „funkcji zeta Mellina” postaci

${\ Displaystyle \ suma _ {x_ {1}, \ kropki, x_ {r} = 1} ^ {\ infty }{\frac {1}{P(x_{1},\kropki,x_{r})^{s}}},}$

gdzie $_$ _

Osobliwości i wartości funkcji zeta Wittena związane z SU (3)

${\ Displaystyle \ zeta _ {SU (3)}}$ jest absolutnie zbieżny w ${\ Displaystyle \ {s \ w \ mathbb {C$ i można go rozszerzyć meromorficznie w ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Jego osobliwości są w ${\ Displaystyle {\ Bigl \ {} {\ Frac {2} {3}}} {\ Bigr \}} \ kubek {\ Bigl \ {} {\ Frac {1} {2}} -k ,k\in \mathbb {N} {\Bigr \}},}$ i wszystkie te osobliwości są prostymi biegunami. $W$ szczególności wartości dla wszystkich liczb całkowitych i

s ${\ Displaystyle s = 0}$ ζ ${\ Displaystyle \ zeta _ {SU (3)} (0) = {\ Frac$ i ${\ Displaystyle \ zeta _ {SU (3)} '(0) = \ log (2 ^ {4/3} \ pi).}$

Niech będzie dodatnią liczbą całkowitą $\ Displaystyle a \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$ Mamy

${\ Displaystyle \ zeta _ {SU (3)} (a) = {\ Frac {2 ^ {a + 2}} {1 + (-1) ^ {a} 2}} \ suma _ {k = 0} ^{[a/2]}{2a-2k-1 \wybierz a-1}\zeta (2k)\zeta (3a-k).}$

$= -a$ $ma$ , to proste zero przy i

${\ Displaystyle \ zeta _ {SU (3)} '(-a) = {\ Frac {2 ^ {-a + 1} (a!) ^ {2}} {(2a + 1)!}} \ zeta '(-3a-1)+2^{-a+2}\sum _{k=0}^{(a-1)/2}{a \wybierz 2k}\zeta (-a-2k)\zeta '(-2a+2k).}$