Funkcje jednorozpuszczalnikowe

W matematyce zbiór n funkcji f ₁ , f ₂ , ..., f _n jest jednorozkładalny (co oznacza „jednoznacznie rozwiązywalny”) w domenie Ω, jeśli wektory

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} f_ {1} (x_ {1}) \\ f_ {1} (x_ {2}) \\\ vdots \ \f_{1}(x_{n})\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}f_{2}(x_{1})\\f_{2}(x_{2})\\\vdots \\f_{2}(x_{n})\end{bmatrix}},\kropki ,{\begin{bmatrix}f_{n}(x_{1})\\f_{n}(x_{2}) \\\vdots \\f_{n}(x_{n})\end{bmacierz}}}$

są liniowo niezależne dla dowolnego wyboru n różnych punktów x ₁ , x ₂ ... x _n w Ω. Równoważnie, zbiór jest jednorozkładalny, jeśli macierz F z wpisami fi ( x _j ) ma niezerowy wyznacznik : det ( F ) ≠ 0 dla dowolnego wyboru różnych x _{j w} Ω. Jednorodność jest własnością przestrzeni wektorowych , a nie tylko określone zestawy funkcji. Oznacza to, że przestrzeń wektorowa funkcji o wymiarze n jest jednorozpuszczalna, jeśli ma jakąkolwiek podstawę (równoważnie liniowo niezależny zbiór n funkcji), podstawa jest jednorozpuszczalna (jako zbiór funkcji). Dzieje się tak, ponieważ dowolne dwie bazy są powiązane macierzą odwracalną (zmiana macierzy bazowej), więc jedna podstawa jest niewypłacalna wtedy i tylko wtedy, gdy jakakolwiek inna podstawa jest niewypłacalna.

Unisolwentowe układy funkcji są szeroko stosowane w interpolacji , ponieważ gwarantują unikalne rozwiązanie problemu interpolacji. Zbiór wielomianów stopnia $jest$ najwyżej (które tworzą przestrzeń wektorową o wymiarze $jednorozpuszczalny$ mocy o jednorozwiązaniu .

Przykłady

• 1, x , x ² jest niewypłacalny w dowolnym przedziale według twierdzenia o jednorozwiązywalności
• 1, x ² jest jednorozpuszczalny na [0, 1], ale nie jednorozpuszczalny na [−1, 1]
• 1, cos( x ), cos(2 x ), ..., cos( nx ), sin( x ), sin(2 x ), ..., sin( nx ) jest jednorozpuszczalny na [− π , π ]
• Funkcje unisolwentowe są używane w liniowych problemach odwrotnych .

Unisolence w metodzie elementów skończonych

Używając „prostych” funkcji do aproksymacji nieznanej funkcji, na przykład w metodzie elementów skończonych , warto rozważyć zestaw funkcjonałów. ${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ { i = 1} ^ {n}} , które działają na$$funkcji$ wymiarowej przestrzeni wektorowej , zwykle wielomianów Często funkcjonały są podawane przez ocenę w punktach w przestrzeni euklidesowej lub w jakimś jej podzbiorze.

Na przykład niech ${\ Displaystyle V_ {h} = {\ duży \ {} p (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} p_ {k} x ^ {k} {\ duży \}}}$ będzie przestrzenią wielomianów jednowymiarowych stopnia $mniejszego$ i niech ${\ Displaystyle f_ {k} (p): = f {\ duży (} {\ Frac {k} {n}} {\ duży)}}$ ≤ $i \ równoważnik n}$$równoważnik$ być zdefiniowany przez ocenę w na przedziale jednostkowym $\ Displaystyle [0,1]$ . W tym kontekście unisolence ${\ Displaystyle V_ {h}}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k = 1} ^ {n}}$ oznacza, że ${\ Displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k = 1} ^ {n}}$ jest podstawą podwójnego ${\ Displaystyle V_ {h} ^ {*}}$ przestrzeń ${\ Displaystyle V_ {h}}$ . Równoważnie i być może bardziej intuicyjnie unisolvence oznacza tutaj, że przy dowolnym zestawie wartości istnieje ${\ Displaystyle \ {c_ {k} \} _ {k = 1} ^ {n}}$ unikalny wielomian ${\ Displaystyle q (x) \ in V_ {h}}$ takie, że ${\ Displaystyle f_ {k} (q) = q ({\ tfrac {k }{n}})=c_{k}}$ . Wyniki tego typu są szeroko stosowane w interpolacji wielomianowej ; $_$ dowolną _ ${\ Displaystyle c_ {k} = \ phi ({\ tfrac {k} {n}})}$ , możemy znaleźć wielomian, który q $\ Displaystyle q \ w V_ {h}}$ interpoluje w każdym z punktów: $n + 1}$$displaystyle$$}}), \ \ forall k \ w \ {0,1, .., N\}}$

Wymiary

Układy funkcji jednorozpuszczalnikowych są znacznie bardziej powszechne w jednym wymiarze niż w wyższych wymiarach. W wymiarze d = 2 i większym (Ω ⊂ R ^d ) funkcje f ₁ , f ₂ , ..., f _n nie mogą być jednorozkładalne na Ω, jeśli istnieje pojedynczy zbiór otwarty, na którym wszystkie są ciągłe. Aby to zobaczyć, rozważmy przesuwanie punktów x ₁ i x ₂ wzdłuż ciągłych ścieżek w zbiorze otwartym, aż zamienią się miejscami, tak że x ₁ i x ₂ nigdy nie przecinają się ze sobą ani z żadnym innym x _i . Wyznacznik układu wynikowego (z x ₁ i x ₂ ) jest ujemnym wyznacznikiem układu początkowego. Ponieważ funkcje f _i są ciągłe, z twierdzenia o wartości pośredniej wynika, że ​​pewna konfiguracja pośrednia ma wyznacznik zero, stąd funkcje nie mogą być jednorozkładalne.

Zobacz też

• Problem odwrotny

• Philip J. Davis : Interpolacja i przybliżenie s. 31–32