Górna topologia

W matematyce górna topologia na częściowo uporządkowanym zbiorze $displaystyle a]=\{x\równoważnik a\}}$ jest najgrubszą topologią w której zamknięciem singletonu $}$ sekcja kolejności { dla każdego ${\ Displaystyle a \ w X.}$ Jeśli ${\ displaystyle \ leq}$ jest porządkiem częściowym, topologia górna jest topologią spójną najmniejszego rzędu , w której wszystkie zbiory otwarte są zdezorientowane . Jednak nie wszystkie zestawy przewrotne muszą koniecznie być zestawami otwartymi. Niższa topologia wywołana preorderem jest definiowana podobnie pod względem downsetów . Preorder indukujący wyższą topologię jest jego preorderem specjalizacji , ale preorder specjalizacji niższej topologii jest przeciwny do indukującego preorderu.

Rzeczywista topologia górna jest najbardziej naturalnie zdefiniowana na rozszerzonej górnej linii rzeczywistej ${\ Displaystyle (- \ infty, + \ infty ] = \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}$ przez system ${\ Displaystyle \ {(a, + \ infty]: a \ in \ mathbb {R} \ puchar \{\pm \infty \}\}}$ zestawów otwartych. Podobnie rzeczywista dolna topologia ${\ Displaystyle \ {[- \ infty, a): a \ in \ mathbb {R} \ kubek \ {\ pm \infty \}\}}$ jest naturalnie zdefiniowane na dolnej linii rzeczywistej ${\ Displaystyle [- \ infty, + \ infty) = \ mathbb {R} \ kubek \ {- \ infty \}.}$ Funkcja rzeczywista w przestrzeni topologicznej jest górno-półciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest dolno-ciągła, tj. jest ciągła względem dolnej topologii na dolnej linii przedłużonej ${\ Displaystyle {[- \ infty, + \ infty}.}$ Podobnie funkcja w górnej linii rzeczywistej jest dolna półciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w górę, tj. jest ciągła względem górnej topologii na ${\ Displaystyle {(- \ infty, + \ infty ]}.}$

Zobacz też

• Lista topologii - Lista konkretnych topologii i przestrzeni topologicznych

•   Gerharda Gierza; KH Hofmann; K. Keimel; JD Lawsona; M. Mislove; DS Scott (2003). Ciągłe kraty i domeny . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. P. 510 . ISBN 0-521-80338-1 .
• Kelley, John L. (1955). Topologia ogólna . Van Nostranda Reinholda. P. 101 .
•   Knapp, Anthony W. (2005). Podstawowa analiza rzeczywista . Birkhhausera. P. 481. ISBN 0-8176-3250-6 .