Głębokość Tukeya

W statystyce i geometrii obliczeniowej głębokość Tukeya jest miarą głębokości punktu w ustalonym zbiorze punktów. Koncepcja została nazwana na cześć jej wynalazcy, Johna Tukeya . Biorąc pod uwagę zbiór n punktów ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} _ {n} = \ {X_ {1}, \ kropki, X_ {n} \}}$ w przestrzeni d -wymiarowej głębokość punktu x według Tukeya jest najmniejszym ułamkiem (lub liczbą) punktów w dowolnej zamkniętej półprzestrzeni zawierającej x .

Głębokość Tukeya mierzy, jak ekstremalny jest punkt w odniesieniu do chmury punktów. Służy do zdefiniowania wykresu bagplot , dwuwymiarowego uogólnienia wykresu pudełkowego .

Na przykład dla dowolnego skrajnego punktu wypukłej otoczki zawsze istnieje (zamknięta) półprzestrzeń, która zawiera tylko ten punkt, a zatem jej głębokość Tukeya jako ułamek wynosi 1/n.

Definicje

Głębokość Tukeya punktu x wrt do chmury punktów. Niebieski region ilustruje półprzestrzeń zawierającą x na granicy. Półprzestrzeń jest również najbardziej ekstremalna, więc zawiera x, ale jak najmniej obserwacji w chmurze punktów. Zatem proporcja punktów zawartych w tej półprzestrzeni staje się wartością głębokości Tukeya dla x.

punktu x Tukeya lub głębokość punktu x Tukeya w odniesieniu do chmury punktów jest zdefiniowana jako ${\ displaystyle {\ mathcal {X}} _ {n}}$

${\ Displaystyle D (x; {\ mathcal { X}}_{n})=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}{\frac {1}{n}}\sum _{i= 1}^{n}\mathbf {1} \{v^{T}(X_{i}-x)\geq 0\},}$

gdzie jest funkcją wskaźnika $, która$ równa 1, jeśli jej argument jest prawdziwy, lub 0 w

Głębokość populacji Tukeya od x wrt do rozkładu wynosi ${\ displaystyle P_ {X}}$

${\ Displaystyle D (x; P_ {X}) = \ inf _ {v \ w \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}P(v^{T}(Xx)\geq 0),}$

gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie ${\ displaystyle P_ {X}}$ .

Średnia Tukeya i stosunek do punktu środkowego

Punkt środkowy c zbioru punktów o rozmiarze n to nic innego jak punkt o głębokości Tukeya o co najmniej n /( d + 1).

Zobacz też

• Punkt środkowy (geometria)