Golygon

Najmniejszy golygon ma 8 boków. Jest to jedyne rozwiązanie z mniej niż 16 bokami. Zawiera dwa wklęsłe narożniki i pasuje do siatki 8×10. Jest to również spirolateral , 8 _90° ^1,5 .

Golygon , lub bardziej ogólnie szeregowy izogon 90 ° , to dowolny wielokąt ze wszystkimi kątami prostymi ( wielokąt prostoliniowy ) , którego boki są kolejnymi liczbami całkowitymi . Golygony zostały wynalezione i nazwane przez Lee Sallowsa i spopularyzowane przez AK Dewdneya w 1990 r. w kolumnie Scientific American (Smith). Wariacje na temat definicji golygonów obejmują umożliwienie przecinania się krawędzi, użycie sekwencji długości krawędzi innych niż kolejne liczby całkowite i uwzględnienie kątów skrętu inny niż 90°.

Nieruchomości

W każdym golygonie wszystkie krawędzie poziome mają taką samą parzystość , jak wszystkie krawędzie pionowe. Zatem liczba n boków musi umożliwiać rozwiązanie układu równań

${\ Displaystyle \ pm 1 \ pm 3 \ pm \ cdots \ pm (n-1) = 0}$

${\ Displaystyle \pm 2\pm 4\pm \cdots \pm n=0.}$

Wynika z tego, że n musi być wielokrotnością 8. Na przykład na rysunku mamy ${\ Displaystyle -1 + 3 + 5-7 = 0}$ i ${\ Displaystyle 2-4-6 + 8 = 0}$ .

Liczbę golygonów dla danej dopuszczalnej wartości n można skutecznie obliczyć za pomocą funkcji generujących (sekwencja A007219 w OEIS ). Liczba golygonów dla dopuszczalnych wartosci n wynosi 4, 112, 8432, 909288 itd. Znalezienie liczby rozwiazan odpowiadajacych golygonom nieprzecinajacym sie wydaje sie znacznie trudniejsze.

Istnieje unikalny ośmioboczny golygon (pokazany na rysunku); może obrócić płaszczyznę o 180 stopni, stosując kryterium Conwaya .

Przykłady

• 

  16-boczny golygon. Spirolateral 16 _90° ^1,3,6,8,11

• 

  32-boczny golygon. Spirolateral 32 _90° ^{1,3,5,7,11,12,14,17,19,21,23,26,29,31}

Uogólnienia

Izogon szeregowy rzędu n jest zamkniętym wielokątem o stałym kącie w każdym wierzchołku i mającym kolejne boki o długości 1, 2, ..., n jednostek. Wielokąt może się samoprzecinać. Golygony to szczególny przypadek izogonów szeregowych.

Spirolateral jest podobną konstrukcją, notacyjnie n _θ ^{i ₁ , i ₂ ,..., i _k} , która ciągnie długości 1,2,3,..., n z wewnętrznymi kątami θ, z możliwością powtarzania, aż powróci do zamknięcia z oryginalny wierzchołek. Indeksy górne i ₁ , i ₂ ,..., i _k wymieniają krawędzie, które podążają w przeciwnych kierunkach.

• 

  
  Szeregowy rząd izogonów 9, kąt wewnętrzny 60 °. Spirolateralny 60° ₉ ^1,4,7 .

• 

  
  Szeregowy izogon rzędu 11, kąt wewnętrzny 60°. Spirolateralny 60° ₁₁ ^4,5,7,8 .

• 

  
  Szeregowy izogon rzędu 12, kąt wewnętrzny 120°. Spirolateralny 120° ₁₂ ^1,4,8 .

• 

  Szeregowy izogon rzędu 5, kąty wewnętrzne 60 ° i 120 °.

Golihedron

Trójwymiarowe uogólnienie golygonu nazywa się golihedronem - zamkniętą , prosto połączoną bryłą ograniczoną do ścian sześciennej siatki i mającą pola ścian w sekwencji 1, 2, ..., n , dla pewnej liczby całkowitej n , po raz pierwszy wprowadzony w pytaniu MathOverflow.

Znaleziono wielościany o wartościach n równych 32, 15, 12 i 11 (minimum możliwe).

Linki zewnętrzne

• Golygons w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences