Grupa Cremona

W geometrii algebraicznej $wprowadzona$ . Cremona , przez Cremonę ( 1863 , 1865 ) , to grupa automorfizmów biracyjnych dwuwymiarowej $nad$ rzutowej polem jest oznaczony przez $\ Displaystyle Cr (\ mathbb {P} ^ {n} (k)}}$ lub ${\ Displaystyle Bir (\ mathbb {P} ^ {n} (k)}}$ lub $\ Displaystyle Cr_ {n} (k)}$ .

Grupa Cremona jest naturalnie identyfikowana z grupą automorfizmu $\ operatorname {Aut} _ {k} (k (x_ {1},$ $displaystyle$ pola funkcji wymiernych w jest nieokreślony $lub$ słowy czystym transcendentalnym rozszerzeniem z transcendencją $k}$ stopień ${\ displaystyle n}$ .

Rzutowa ogólna grupa liniowa $rzędu$ przekształceń $rzutowych$ jest w grupie Oba są równe tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle n = 0}$ lub ${\ displaystyle n = 1}$ , w którym to przypadku zarówno licznik, jak i mianownik transformacji muszą być liniowe.

Grupa Cremona w 2 wymiarach

$chociaż$ że złożona grupa Cremona jest generowana przez standardową transformację kwadratową, wraz z było pewne kontrowersje co do tego, czy ich dowody były poprawne, a Gizatullin (1983) podał pełny zestaw relacji dla tych generatorów. Struktura tej grupy wciąż nie jest dobrze poznana, chociaż wykonano wiele prac nad znalezieniem jej elementów lub podgrup.

Cantat i Lamy (2010) wykazali, że grupa Cremona nie jest prostą grupą abstrakcyjną;
Blanc pokazał, że nie ma nietrywialnych podgrup normalnych, które są również zamknięte w naturalnej topologii.
Aby zapoznać się ze skończonymi podgrupami grupy Cremona, zob. Dolgachev & Iskovskikh (2009) .

Grupa Cremona w wyższych wymiarach

Niewiele wiadomo o strukturze grupy Cremona w trzech wymiarach i wyższych, chociaż opisano wiele jej elementów. Blanc (2010) wykazał, że jest (liniowo) spójny, odpowiadając na pytanie Serre (2010) . Nie ma łatwego odpowiednika twierdzenia Noether-Castelnouvo, ponieważ Hudson (1927) wykazał, że grupa Cremony w wymiarze co najmniej 3 nie jest generowana przez jej elementy stopnia ograniczone jakąkolwiek ustaloną liczbą całkowitą.

Grupy De Jonquièresa

Grupa De Jonquières jest podgrupą grupy Cremona o następującej formie ^{[ potrzebne źródło ]} . Wybierz bazę transcendencji ${\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ dla rozszerzenia pola $}$ . Wtedy grupa De Jonquières jest podgrupą automorfizmów odwzorowujących podpole $, ..., x_ {n}$ ${\ Displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ , siebie przez jakiś ${\ displaystyle r \ równoważnik n}$ . $_$ automorfizmów _ ${\ Displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ ${\ Displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ ilorazowa to grupa Cremona nad polem ${\ displaystyle k}$ . Można to również uznać za grupę automorfizmów biracyjnych wiązki włókien ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {r} \ razy \ mathbb {P} ^ {nr} \ do \mathbb {P} ^{r}}$ .

Kiedy ${\ displaystyle n = 2}$ i $\ displaystyle r = 1}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {PGL} _ {2} (k)}$ grupa De Jonquières jest grupą przekształceń Cremony ustalających ołówek linii przechodzących przez dany punkt i jest półprostym iloczynem i ${\ Displaystyle \ operatorname {PGL} _ {2} (k (t)) }$ .

Alberich-Carramiñana, Maria (2002), Geometria płaszczyzny mapy Cremony , Notatki z wykładu z matematyki, tom. 1769, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b82933 , ISBN 978-3-540-42816-9 , MR 1874328
Blanc, Jérémy (2010), "Groupes de Cremona, connexité et simplicité", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 43 (2): 357–364, doi : 10.24033/asens.2123 , ISSN 0012-9593 , MR 2662668
Kantat, Serge; Lamy, Stéphane (2010). „Normalne podgrupy w grupie Cremona”. Acta Mathematica . 210 (2013): 31–94. ar Xiv : 1007.0895 . Bibcode : 2010arXiv1007.0895C . doi : 10.1007/s11511-013-0090-1 .
Coolidge, Julian Lowell (1931), Traktat o algebraicznych krzywych płaskich , Oxford University Press , ISBN 978-0-486-49576-7 , MR 0120551
Cremona, L. (1863), „Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane” , Giornale di matematiche di Battaglini , 1 : 305–311
Cremona, L. (1865), „Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane” , Giornale di matematiche di Battaglini , 3 : 269–280, 363–376
Demazure, Michel (1970), „Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona” , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 3 : 507–588, ISSN 0012-9593 , MR 0284446
Dolgachev, Igor V. (2012), Classical Algebraic Geometry: a modern view (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2012-03-11 , pobrane 2012-04-18
Dołgaczow, Igor W.; Iskovskikh, Vasily A. (2009), „Skończone podgrupy płaszczyzny grupy Cremona”, Algebra, arytmetyka i geometria: na cześć Yu. I. Manina. Tom. ja , progr. Matematyka, tom. 269, Boston, MA: Birkäuser Boston, s. 443–548, arXiv : math/0610595 , doi : 10.1007/978-0-8176-4745-2_11 , ISBN 978-0-8176-4744-5 , MR 2641179
Gizatullin, M. Kh. (1983), „Definiowanie relacji dla grupy Cremony samolotu”, Matematyka ZSRR-Izwiestija , 21 (2): 211–268, Bibcode : 1983IzMat..21..211G , doi : 10.1070/IM1983v021n02ABEH001789 , ISSN 0373 -2436 , MR 0675525
Godeaux, Lucien (1927), Les transformacje birationelles du plan , Mémorial des sciences mathématiques, tom. 22, Gauthier-Villars et Cie, JFM 53.0595.02
„Grupa Cremona” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
„Transformacja Cremony” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Hudson, Hilda Phoebe (1927), Cremona transformacje w płaszczyźnie i przestrzeni , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35882-8 , przedruk 2012
Semple, JG; Roth, L. (1985), Wprowadzenie do geometrii algebraicznej , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4 , MR 0814690
Serre, Jean-Pierre (2009), „Ograniczenie w stylu Minkowskiego dla rzędów skończonych podgrup grupy Cremona rangi 2 nad arbitralnym polem”, Moscow Mathematical Journal , 9 (1): 193–208, doi : 10.17323/1609-4514-2009-9-1-183-198 , ISSN 1609-3321 , MR 2567402
Serre, Jean-Pierre (2010), „Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finals” (PDF) , Astérisque , Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN 978-2-85629-291-4 , ISSN 0303-1179 , MR 2648675