Grupa K-Poincarégo

W fizyce i matematyce grupa κ-Poincarégo , nazwana na cześć Henriego Poincarégo , jest grupą kwantową otrzymaną przez deformację grupy Poincarégo w algebrę Hopfa . Jest generowany $}}$ elementy i ze zwykłym ograniczeniem: za ${\ displaystyle a ^ {\ mu}}$ i

${\ Displaystyle \ eta ^ {\ rho \ sigma}} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ rho} {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\sigma}=\eta ^{\mu \nu}~,}$

gdzie jest metryką Minkowskiego : ${\ Displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ lewo ({\ rozpocząć {tablica}} -1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\koniec {tablica}}\prawo)~.}$

Zasady komutacji brzmią:

• ${\ Displaystyle [a_ {j}, a_ {0}] = ja \ lambda a_ {j} ~, \; [a_ {j },a_{k}]=0}$
• ${\ Displaystyle [a ^ {\ mu}, {\ Lambda ^ {\ rho}} _ {\ sigma}] = i \ lambda \ lewo \ {\ lewo ({\ Lambda ^ {\ rho}} _ {0} -{\delta ^{\rho}}_{0}\right){\Lambda ^{\mu }}_{\sigma }-\left({\Lambda ^{\alpha}}_{\sigma }\ eta _{\alpha 0}+\eta _{\sigma 0}\right)\eta ^{\rho \mu }\right\}}$

$są$ przypadku (1 + 1) -wymiarowym reguły komutacji między a $a ^ {\ mu}}$ szczególnie prosty. Generator Lorentza w tym przypadku to:

${\ Displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {cc} \ cosh \tau &\sinh \tau \\\sinh \tau &\cosh \tau \end{tablica}}\right)}$

a zasady komutacji brzmią:

• ${\ Displaystyle [a_ {0}, \ lewo ({\ rozpocząć {tablica}} {c} \ cosh \ tau \\\sinh \tau \end{array}}\right)]=i\lambda ~\sinh \tau \left({\begin{array}{c}\sinh \tau \\\cosh \tau \end {tablica}}\prawo)}$
• ${\ Displaystyle [a_ {1}, \ lewo ({\ rozpocząć {tablica}} c}\cosh \tau \\\sinh \tau \end{tablica}}\right)]=i\lambda \left(1-\cosh \tau \right)\left({\begin{array}{c} \sinh \tau \\\cosh \tau \end{array}}\right)}$

Koprodukty są klasyczne i kodują prawo składu grupy :

• ${\ Displaystyle \ Delta a ^ {\ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} \ czasami a ^ {\ nu} + a^{\mu}\czasami 1}$
• ${\ Displaystyle \ Delta {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ rho} \ otimes {\ Lambda ^{\rho }}_{\nu }}$

Również antypody i okręgi są klasyczne i reprezentują prawo inwersji grupowej oraz mapę tożsamości:

• ${\ Displaystyle S (a ^ {\ mu}) = - {(\ Lambda ^ {- 1}) ^ {\ mu}} _ {\ nu }a^{\nu}}$
• ${\ Displaystyle S ({\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu}) = {(\ Lambda ^ {- 1}) ^ {\mu}}_{\nu}={\Lambda _{\nu}}^{\mu}}$
• ${\ Displaystyle \ varepsilon (a ^ {\ mu}) = 0}$
• ${\ Displaystyle \ varepsilon ({\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu}) = {\ delta ^ {\ mu}} _ {\ nu}}$

Grupa κ-Poincarégo jest dualną algebrą Hopfa w stosunku do algebry K-Poincarégo i może być interpretowana jako jej „skończona” wersja.