grupa n -ary
W matematyce , aw szczególności w algebrze uniwersalnej , pojęcie grupy n -argumentowej (zwanej także n -grupą lub grupą wieloargumentową ) jest uogólnieniem pojęcia grupy na zbiór G z operacją n -arną zamiast binarną operacja. Przez n -argumentową operację rozumie się dowolne odwzorowanie f: G n → G od n -tej potęgi kartezjańskiej G do G. _ Aksjomaty dla grupy n -argumentowej definiuje się w taki sposób , że sprowadzają się one do aksjomatów grupy w przypadku n = 2 . Najwcześniejsze prace nad tymi konstrukcjami wykonał w 1904 r. Kasner, aw 1928 r. Dörnte; pierwszy systematyczny opis (tak zwanych wówczas) grup poliadycznych został podany w 1940 roku przez Emila Leona Posta w słynnym 143-stronicowym artykule w Transactions of the American Mathematical Society .
Aksjomaty
Asocjatywność
Najłatwiejszym do uogólnienia aksjomatem jest prawo asocjacyjne. Łączność trójskładnikowa to tożsamość wielomianowa ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , tj. równość trzech możliwych ujęć w nawiasy ciągu abcde , w którym ujęto w nawiasy dowolne trzy kolejne symbole. (Tutaj rozumie się, że równania są spełnione dla dowolnych wyborów elementów a , b , c , d , e w G .) Ogólnie rzecz biorąc, n -ary łączność jest równością n możliwych ujęć w nawiasy łańcucha składającego się z n + ( n - 1) = 2 n - 1 różnych symboli z dowolnymi n kolejnymi symbolami w nawiasach. Zbiór G , który jest domknięty pod działaniem n -arnej operacji asocjacyjnej, nazywamy n -arną półgrupą. Zbiór G , który jest domknięty pod dowolnym (niekoniecznie asocjacyjnym) n -ary operacja nazywana jest n -arową grupoidą .
Odwrotności / unikalne rozwiązania
Aksjomat odwrotny jest uogólniony w następujący sposób: w przypadku operacji binarnych istnienie odwrotności oznacza, że ax = b ma unikalne rozwiązanie dla x i podobnie xa = b ma unikalne rozwiązanie. W przypadku trójskładnikowym uogólniamy to na abx = c , axb = c i xab = c , z których każde ma unikalne rozwiązania, a przypadek n -arny ma podobny wzór istnienia unikalnych rozwiązań i otrzymujemy n -ary quasigrupa.
Definicja grupy n -arnej
Grupa n -arkowa to n- arkowa półgrupa będąca jednocześnie n -arną quasigrupą.
Tożsamość / elementy neutralne
W przypadku 2-argumentów może być zero lub jeden element tożsamości: zbiór pusty jest grupą 2-argumentową, ponieważ zbiór pusty jest zarówno półgrupą, jak i quasigrupą, a każda zamieszkana grupa 2-arkowa jest grupą. W n - argumentach dla n ≥ 3 może być zero, jeden lub wiele elementów tożsamości.
n - arną grupoidę ( G , f ) gdzie f = ( x 1 ◦ x 2 ◦ ⋯ ◦ x n ) , gdzie ( G , ◦) jest grupą nazywamy redukowalną lub wywodzącą się z grupy ( G , ◦). W 1928 Dörnte opublikował pierwsze główne wyniki: n -arowa grupoida , która jest redukowalna jest n -arową grupą, jednakże dla wszystkich n > 2 istnieje n -ar zamieszkany grupy nieredukowalne. W pewnych n -argumentowych grupach istnieje element e (nazywany n - arną tożsamością lub elementem neutralnym) taki, że dowolny ciąg n -elementów składający się ze wszystkich e poza jednym miejscem jest odwzorowywany na element w tym miejscu . Np. w grupie czwartorzędowej o tożsamości e eeae = a dla każdego a .
Grupa n -ary zawierająca element obojętny jest redukowalna. Tak więc n -argumentowa , która nie jest redukowalna, nie zawiera takich elementów. Istnieją n - argumenty z więcej niż jednym elementem neutralnym. Jeśli zbiór wszystkich elementów neutralnych n -arkuszowej grupy jest niepusty, to tworzy n -arną podgrupę.
Niektórzy autorzy włączają tożsamość do definicji grupy n -argumentowej , ale jak wspomniano powyżej, takie n -argumentowe operacje są po prostu powtarzanymi operacjami binarnymi. Grupy z wewnętrznie n -arnymi operacjami nie mają elementu tożsamości.
Słabsze aksjomaty
Aksjomaty asocjatywności i jednoznaczności rozwiązań w definicji grupy n -arnej są silniejsze niż powinny. Przy założeniu n -arnej asocjatywności wystarczy postulować istnienie rozwiązania równań z niewiadomą na początku lub na końcu struny lub w innym miejscu niż końce; np. w przypadku 6-argumentowym xabcde = f i abcdex = f lub wyrażenie takie jak abxcde = f . Wtedy można udowodnić, że równanie ma unikalne rozwiązanie dla x w dowolnym miejscu struny. Aksjomat asocjatywności można również podać w słabszej formie.
Przykład
Poniżej znajduje się przykład trzyelementowej grupy trójskładnikowej, jednej z czterech takich grup
( n , m )-grupa
Koncepcję grupy n -ary można dalej uogólnić na koncepcję grupy ( n , m ) , znanej również jako grupa o wartościach wektorowych , która jest zbiorem G z mapą f : G n → G m gdzie n > m , podlega podobnym aksjomatom jak dla grupy n -argumentowej z tą różnicą, że wynikiem odwzorowania jest słowo składające się z m liter zamiast z jednej litery. Więc ( n , 1)-grupa jest an n -ary . ( n , m )-grupy zostały wprowadzone przez G Ĉupona w 1983 roku.
Zobacz też
Dalsza lektura
- SA Rusakov: Niektóre zastosowania teorii grup n-arnych, (ros.), Belaruskaya navuka, Mińsk 1998.