Grupa superrozwiązywalna

W matematyce grupa jest superrozpuszczalna (lub superrozpuszczalna ), jeśli ma niezmienny szereg normalny , w którym wszystkie czynniki są grupami cyklicznymi . Superrozwiązywalność jest silniejsza niż pojęcie rozwiązywalności .

Definicja

Niech G będzie grupą . G jest superrozwiązywalny, jeśli istnieje szereg normalny

{\ Displaystyle \ {1 \} = H_ {0} \ lewy trójkąt H_ {1} \ lewy trójkąt \ cdots \ lewy trójkąt H_ {s-1 }\trójkąt w lewo H_{s}=G}

$G}$ że każda $grupa$ ilorazów $\ displaystyle$ cykliczna i każda jest normalna w ${i + 1} / H_ {i} \;}$ .

Natomiast w przypadku grupy rozwiązywalnej definicja wymaga, aby każdy iloraz był abelowy . W innym kierunku $ilorazem$ musi mieć szereg podnormalny z każdym cyklicznym, ale nie ma wymogu, aby każdy był normalny w $.$ Ponieważ każda skończona rozwiązalna grupa jest policykliczna, można to postrzegać jako jedną z kluczowych różnic między definicjami. Dla konkretnego przykładu, naprzemienna grupa w czterech punktach, ${\ Displaystyle A_ {4}}$ jest rozwiązywalny, ale nie superrozwiązywalny.

Podstawowe właściwości

Kilka faktów o grupach superrozwiązywalnych:

Grupy dające się superrozwiązywać są zawsze policykliczne , a zatem możliwe do rozwiązania .
Każda skończenie wygenerowana grupa nilpotentna jest superrozwiązywalna.
Każda grupa metacykliczna jest superrozwiązywalna.
Podgrupa komutatora grupy superrozwiązywalnej jest nilpotentna.
Podgrupy i grupy ilorazowe grup superrozwiązywalnych są superrozwiązywalne.
Skończona superrozwiązywalna grupa ma niezmienny szereg normalny, w którym każdy czynnik jest cykliczny rzędu pierwszego.
W rzeczywistości liczby pierwsze można wybierać w ładnej kolejności: dla każdej liczby pierwszej p i dla π zbioru liczb pierwszych większych niż p skończona superrozwiązywalna grupa ma unikalną podgrupę Halla π . Takie grupy są czasami nazywane uporządkowanymi grupami wież Sylowa.
Każda grupa rzędu bezkwadratowego i każda grupa z cyklicznymi podgrupami Sylowa ( grupa Z ) jest superrozwiązywalna.
Każda nieredukowalna złożona reprezentacja skończonej superrozwiązywalnej grupy jest jednomianowa, to znaczy indukowana z liniowego charakteru podgrupy. Innymi słowy, każda skończona superrozwiązywalna grupa jest grupą jednomianową .
Każda podgrupa maksymalna w grupie superrozwiązywalnej ma indeks pierwszy .
Skończona grupa jest superrozwiązywalna wtedy i tylko wtedy, gdy każda maksymalna podgrupa ma indeks pierwszy.
Skończona grupa jest superrozwiązywalna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy maksymalny łańcuch podgrup ma tę samą długość. Jest to ważne dla osób zainteresowanych siatką podgrup grupy i jest czasami nazywane warunkiem łańcucha Jordana-Dedekinda .
Zgodnie z twierdzeniem Bauma każda superrozwiązywalna grupa skończona ma algorytm DFT działający w czasie O ( n log n ). ^{[ wymagane wyjaśnienie ]}

Schenkman, Eugeniusz. Teoria grup . Krieger, 1975.
Schmidt, Roland. Podgrupy Kraty grup . de Gruyter, 1994.
Keith Conrad, SUBGROUP SERIA II, sekcja 4 , http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/subgpseries2.pdf