Helikalność magnetyczna

W fizyce plazmy spiralność magnetyczna jest miarą sprzężenia, skrętu i skręcania pola magnetycznego . W idealnej magnetohydrodynamice helikalność magnetyczna jest zachowana . Kiedy pole magnetyczne zawiera helikalność magnetyczną, ma tendencję do tworzenia struktur na dużą skalę z małych. Proces ten można nazwać przeniesieniem odwrotnym w przestrzeni Fouriera .

Ta druga właściwość sprawia, że ​​helikalność magnetyczna jest wyjątkowa: trójwymiarowe przepływy turbulentne mają tendencję do „niszczenia” struktury w tym sensie, że wiry na dużą skalę rozpadają się na coraz mniejsze (proces zwany „kaskadą energii bezpośredniej” , opisany przez Lewisa Fry'ego Richardson i Andriej Nikołajewicz Kołmogorow ). W najmniejszych skalach wiry są rozpraszane w cieple przez lepkość efekty. Poprzez swego rodzaju „odwrotną kaskadę helikalności magnetycznej” dzieje się odwrotnie: małe struktury helikalne (o niezerowej helikalności magnetycznej) prowadzą do powstawania pól magnetycznych na dużą skalę. Widać to na przykład w warstwie prądu heliosferycznego – dużej strukturze magnetycznej w Układzie Słonecznym.

Helikalność magnetyczna ma ogromne znaczenie w kilku systemach astrofizycznych, w których rezystywność jest zazwyczaj bardzo niska, tak że helikalność magnetyczna jest zachowana z bardzo dobrym przybliżeniem. Na przykład: dynamika helikalności magnetycznej jest ważna w przypadku rozbłysków słonecznych i koronalnych wyrzutów masy . Helikalność magnetyczna występuje w wietrze słonecznym . Jego zachowanie jest istotne w dynamo . Odgrywa również rolę w badaniach nad syntezą jądrową , na przykład w eksperymentach z odwróconym szczypaniem pola .

Definicja matematyczna

Ogólnie rzecz biorąc, spiralność gładkiego ${\ displaystyle H ^$ wektorowego ograniczona do objętości jest standardową miarą ${ \ displaystyle$$}$ stopień, w jakim linie pola zawijają się i owijają wokół siebie. Jest definiowany jako całka objętości po $iloczynie$ i jego zwinięciu , f $}}$${\ Displaystyle \ nabla \ razy {\ mathbf {f}}}$ :

${\ Displaystyle H ^ {\ mathbf {f}} = \ int _ {V} {\ mathbf {f}} \ cdot \ lewo (\ nabla \ razy {\ mathbf {f}} \ prawej) \ dV.}$

Helikalność magnetyczna

Helikalność magnetyczna $spiralnością$ potencjału wektora magnetycznego gdzie $= {\ mathbf {B}}}$$Displaystyle \ nabla$$razy {\$$}$ to powiązane pole magnetyczne ograniczone do objętości . Helikalność magnetyczną można następnie wyrazić jako

${\ Displaystyle H ^ {\ mathbf {M}} = \ int _ {V} {\ mathbf {A}} \ cdot {\ mathbf {B}} \ dV.}$

Ponieważ potencjał wektora magnetycznego nie jest niezmienny względem cechowania , helikalność magnetyczna również ogólnie nie jest niezmienna względem cechowania. W konsekwencji helikalność magnetyczna układu fizycznego nie może być zmierzona bezpośrednio. W pewnych warunkach i przy pewnych założeniach można jednak zmierzyć aktualną spiralność układu iz niej, po spełnieniu dalszych warunków i przy dalszych założeniach, wydedukować helikalność magnetyczną.

Helikalność magnetyczna ma jednostki kwadratu strumienia magnetycznego : Wb ² ( weber do kwadratu) w jednostkach SI i Mx ² ( maxwells do kwadratu) w jednostkach Gaussa .

Obecna helikalność

Obecna spiralność lub helikalność pola magnetycznego ograniczona do objętości może być wyrażona jako ${\ displaystyle M ^ {\ mathbf {$$}$$}$

${\ Displaystyle H ^ {\ mathbf {J}} = \ int _ {V} {\ mathbf {B}} \ cdot {\ mathbf {J}} \ dV$

gdzie ${\ Displaystyle {\ mathbf {J}} = \ nabla \ razy {\ mathbf {B}}}$ jest gęstością prądu . W przeciwieństwie do spiralności magnetycznej, spiralność prądu nie jest idealną niezmiennikiem (nie jest zachowana nawet wtedy, gdy rezystywność elektryczna wynosi zero).

Interpretacja topologiczna

Nazwa „skrętowość” opiera się na fakcie, że trajektoria cząstki płynu w płynie z prędkością ${$ wirowością ω $\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega$ tworzy helisę w regionach, w których helikalność kinetyczna ${\ Displaystyle \ textstyle H ^ {K} = \ int \ mathbf {v} \ cdot {\boldsymbol {\omega}}\neq 0}$ . Gdy $^ {K}> 0}$$,$ helisa jest prawoskrętna, a gdy lewoskrętna To zachowanie jest bardzo podobne do linii pola magnetycznego.

Regiony, w których helikalność magnetyczna jest różna od zera, mogą również zawierać inne rodzaje struktur magnetycznych, takie jak spiralne linie pola magnetycznego. Helikalność magnetyczna jest rzeczywiście uogólnieniem topologicznej koncepcji powiązania liczby z wielkościami różniczkowymi wymaganymi do opisania pola magnetycznego. Liczba łącząca opisuje, ile linii pola magnetycznego jest ze sobą powiązanych (zobacz matematyczny dowód). Za pomocą prostego eksperymentu z papierem i nożyczkami można wykazać, że obracające się wokół siebie linie pola magnetycznego można uznać za wzajemnie powiązane (rysunek 5 w ). Zatem obecność helikalności magnetycznej można interpretować jako spiralne linie pola magnetycznego, wzajemnie powiązane struktury magnetyczne, ale także linie pola magnetycznego obracające się wokół siebie.

Przykład struktur helikalnych w DNA . Podobnie wygląda to dla spiralnych linii pola magnetycznego. Mówiąc topologicznie: jednostki skręcania i jednostki skręcania można zamieniać.

Linie pola magnetycznego obracające się wokół siebie mogą przybierać różne kształty. Rozważmy dla przykładu zbiór wirujących linii pola magnetycznego w bliskim sąsiedztwie, który formuje tzw. " rurę strumienia magnetycznego " (patrz rysunek dla ilustracji).

„ Skręt ” oznacza, że ​​rura strumienia obraca się wokół własnej osi (liczby z Twist = ${\ displaystyle \ pm 1}$ ). Mówiąc topologicznie, jednostki skrętu i skrętu ( co oznacza obrót samej osi rurki strumienia - figury z Writhe = ${\ displaystyle \ pm 1}$ ) mogą być przekształcane na siebie. Można również pokazać, że węzły są również równoważne jednostkom skrętu i/lub skręcania.

Podobnie jak w przypadku wielu wielkości w elektromagnetyzmie, spiralność magnetyczna (która opisuje linie pola magnetycznego) jest ściśle związana z mechaniczną spiralnością płynów (która opisuje linie przepływu płynów), a ich dynamika jest ze sobą powiązana.

Idealna niezmienność kwadratowa

Pod koniec lat pięćdziesiątych Lodewijk Woltjer i Walter M. Elsässer niezależnie odkryli idealną niezmienność helikalności magnetycznej, to znaczy jej zachowanie, gdy rezystywność wynosi zero. Dowód Woltjera, ważny dla systemu zamkniętego, powtarza się w następujący sposób:

W idealnej magnetohydrodynamice ewolucję w czasie pola magnetycznego i potencjału wektora magnetycznego można wyrazić za pomocą równania indukcji jako

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe {\ mathbf {B}}} {\ częściowe t}} = \ nabla \times ({\mathbf {v}}\times {\mathbf {B}}),\quad {\frac {\częściowe {\mathbf {A}}}{\częściowe t}}={\mathbf {v } }\times {\mathbf {B}}+\nabla \Phi ,}$

odpowiednio, gdzie jest potencjałem skalarnym $($ przez warunek cechowania patrz § Uwagi dotyczące miernika . Wybierając miernik tak, aby potencjał skalarny zniknął , ewolucja w czasie helikalności magnetycznej w objętości jest dana wzorem: ${\ Displaystyle \ nabla \ Phi =$$\$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ częściowe H ^ {\ mathbf {M}}} {\ częściowe t}} & = \ int _ {V} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe {\ mathbf {A} }}{\częściowe t}}\cdot {\mathbf {B}}+{\mathbf {A}}\cdot {\frac {\częściowe {\mathbf {B}}}{\częściowe t} }\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v}}\times {\mathbf {B}})\cdot {\mathbf {B}}\ dV+\int _{V} {\mathbf {A}}\cdot \left(\nabla \times {\frac {\częściowe {\mathbf {A}}}{\częściowe t}}\right)dV.\end{wyrównane}}}$

Iloczyn skalarny w całce pierwszego wyrazu wynosi zero, ponieważ $B} }}$ prostopadły do ​​iloczynu krzyżowego $b$${\ displaystyle {\ mathbf {v}} \ razy {\ mathbf$ , a drugi wyraz można scałkować przez części, aby dać

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy H ^ {\ mathbf {M}}} {\ częściowy t}} = \ int _ {V} \ lewo (\ nabla \ razy {\ mathbf {A}} \ prawej) \ cdot {\frac {\częściowe {\mathbf {A}}}{\częściowe t}}\ dV+\int _{\częściowe V}\left({\mathbf {A}}\times {\frac {\częściowe { \mathbf {A} }}{\częściowe t}}\right)\cdot d\mathbf {S} }$

gdzie drugi wyraz jest całką powierzchniową po powierzchni $zamkniętego$ . Iloczyn skalarny w całce pierwszego wyrazu wynosi zero, ponieważ ${\ Displaystyle \ częściowe {\ mathbf {A}} / \ częściowe t.}$ do $}}}$ Drugi człon również znika, ponieważ ruchy wewnątrz układu zamkniętego nie mogą wpływać na potencjał wektorowy na zewnątrz, tak że na powierzchni granicznej ${\ Displaystyle \ częściowe {\ mathbf {A}}/\ częściowe t = \ mathbf { 0} },$ ponieważ wektor potencjału magnetycznego jest funkcją ciągłą. Dlatego,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe H ^ {\ mathbf {M}}} {\ częściowe t}} = 0,}$

a helikalność magnetyczna jest idealnie zachowana. We wszystkich sytuacjach, w których helikalność magnetyczna jest niezmienna względem cechowania, helikalność magnetyczna jest idealnie zachowana bez konieczności wyboru określonego miernika ${\ Displaystyle \ nabla \ Phi = \ mathbf {0}.}$

Helikalność magnetyczna pozostaje zachowana w dobrym przybliżeniu nawet przy małej, ale skończonej rezystywności, w którym to przypadku ponowne połączenie magnetyczne rozprasza energię .

Właściwość przenoszenia odwrotnego

Struktury spiralne o małej skali mają tendencję do tworzenia coraz większych struktur magnetycznych. Można to nazwać odwrotnym przeniesieniem w przestrzeni Fouriera, w przeciwieństwie do (bezpośredniej) kaskady energii w trójwymiarowych turbulentnych przepływach hydrodynamicznych. Możliwość takiego odwrotnego przeniesienia została po raz pierwszy zaproponowana przez Uriela Frischa i współpracowników i została zweryfikowana w wielu eksperymentach numerycznych. W konsekwencji obecność helikalności magnetycznej jest możliwością wyjaśnienia istnienia i utrzymywania się wielkoskalowych struktur magnetycznych we Wszechświecie.

Argument przemawiający za tym odwrotnym przeniesieniem zaczerpniętym z jest tutaj powtórzony, który opiera się na tak zwanym „warunku realizacji” na widmie Fouriera ze śrubowością magnetyczną ${\ Displaystyle {\ hat { H}}_ {\mathbf {k}}^{M}={\kapelusz {\mathbf {A}}}_{\mathbf {k}}^{*}\cdot {\kapelusz {\mathbf {B} }} _ {\ mathbf {k}}}$ (gdzie ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$ jest współczynnikiem Fouriera na wektorze falowym ${\ Displaystyle {\ mathbf {k}}}$ pola magnetycznego ${\ Displaystyle {\ mathbf {B}}}$ i podobnie dla ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {A}}}}$ , gwiazda oznaczająca złożony koniugat ). „Warunek realności” odpowiada zastosowaniu nierówności Cauchy'ego-Schwarza , co daje:

${\ Displaystyle | {\ kapelusz {H}} _ {\ mathbf {k}} ^ {M} | \ leq {\ Frac {2E _ {\ mathbf {k}} ^ {M}}} {| {\ mathbf {k } }|}}}$ ,

mi ${\ Displaystyle E _ {\ mathbf {k}} ^ {M} = {\ Frac {1} {2}} {\ kapelusz {\ mathbf {B$ . Aby uzyskać tę nierówność, fakt, że ${\ Displaystyle | {\ kapelusz {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}} | = | {\ mathbf {k}} || {\ kapelusz {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}} ^ {\ perp}|}$ (z solenoidalną częścią ${\ mathbf {k}} ^ {\ perp}}$ _ Zastosowano potencjał wektora magnetycznego przekształconego Fouriera, ortogonalny do wektora falowego w przestrzeni Fouriera), ponieważ ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}} = ja {\ mathbf {k}} \ razy {\ kapelusz {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k } }}$ . Współczynnik 2 nie występuje w artykule, ponieważ helikalność magnetyczna jest tam definiowana alternatywnie jako ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ int _ {V} {\ mathbf { A} }\cdot {\mathbf {B}}\ dV}$ .

${p}}$ sobie sytuację początkową bez pola prędkości i pola magnetycznego obecnego tylko przy dwóch wektorach falowych i $mathbf$ . Zakładamy w pełni helikalne pole magnetyczne, co oznacza, że ​​jest ono nasycone warunkiem spełnialności: ${\ Displaystyle | {\ kapelusz {H}} _ {\ mathbf {p}} ^ {M} | = {\ Frac {2E _ {\ mathbf {p}} ^ {M}} {| {\ mathbf {p} }|}}}$ i ${\ Displaystyle | {\ kapelusz {H}} _ {\ mathbf {q}} ^ {M} | = {\ Frac {2E _ {\ mathbf {q}} ^ {M}}} {| {\ mathbf {q} }|}}}$ . Zakładając, że wszystkie transfery energii i helikalności magnetycznej są wykonywane do innego wektora $,$ zachowanie helikalności magnetycznej z jednej strony i całkowitej energii ${\ displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}}$ (suma energii (m)magnetycznej i (k)inetycznej) daje natomiast:

${\ Displaystyle H _ {\ mathbf {k}} ^ {M} = H _ {\ mathbf {p}} ^ {M} + H _ {\ mathbf {q}} ^ {M},}$

${\ Displaystyle E _ {\ mathbf {k}} ^ {T} = E _ {\ mathbf {p}} ^ {T} + E _ {\ mathbf {q}} ^ {T} = E_ {\ mathbf {p}} ^{M}+E_{\mathbf {q}}^{M}.}$

Druga równość energii wynika z faktu, że rozważamy stan początkowy bez energii kinetycznej. Wtedy koniecznie mamy ${\ Displaystyle |\ mathbf {k} |\ równoważnik \ max (|\ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}$ . Rzeczywiście, gdybyśmy mieli ${\ Displaystyle |\ mathbf {k} |> \ max (|\ mathbf {p} |,|\ mathbf {q} |)}$ , a następnie:

$\ Displaystyle H _ {\ mathbf {k}} ^ {M} = H _ {\ mathbf {p}} ^ {M} + H _ {\ mathbf {q}} ^ {M} = {\ Frac {2E_ {\ mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q}}^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{ \frac {2(E_{\mathbf {p}}^{M}+E_{\mathbf {q}}^{M})}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\ mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k}}^{M}}{|\mathbf {k} |}}, }$

co złamałoby warunek realności. Oznacza to, że ${\ Displaystyle |\ mathbf {k} |\ równoważnik \ max (|\ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}$ . W szczególności dla ${\ Displaystyle | {\ mathbf {p}}|=|{\ mathbf {q}}|}$ , helikalność magnetyczna jest przenoszona na mniejszy wektor falowy, co oznacza większą skalę.

Uwagi dotyczące miernika

Spiralność magnetyczna jest wielkością zależną od $cechowania , ponieważ można$ przedefiniować, dodając do niej gradient ( wybór miernika ). Jednak w przypadku doskonale przewodzących granic lub układów okresowych bez strumienia magnetycznego netto, helikalność magnetyczna zawarta w całej dziedzinie jest niezmienna względem cechowania, to znaczy niezależna od wyboru cechowania. Względna helikalność niezmienna od cechowania została zdefiniowana dla objętości o niezerowym strumieniu magnetycznym na ich powierzchniach granicznych.

Zobacz też

• Twierdzenie Woltjera

Linki zewnętrzne

• Helicity Page AA Pevtsova
• Strona publikacji Mitcha Bergera