Idealizator

W algebrze abstrakcyjnej idealizatorem podgrupy T półgrupy S jest największa podgrupa S , w której T jest ideałem . Taki idealizator jest dany przez

${\ Displaystyle \ mathbb {I} _ {S} (T) = \ {s \ w S \ mid sT \ subseteq T {\ tekst {i}} Ts \ subseteq T \}.}$

W teorii pierścieni $)$ jeśli A jest addytywną podgrupą pierścienia R , to (zdefiniowana w półgrupie R największym R , w którym A jest ideałem dwustronnym.

W algebrze Liego , jeśli L jest pierścieniem Liego (lub algebrą Liego ) z iloczynem Liego [ x , y ], a S jest addytywną podgrupą L , to zbiór

${\ Displaystyle \ {r \ w L \ mid [r, S] \ subseteq S \}}$

jest klasycznie nazywany normalizatorem S , jednak jest oczywiste, że ten zbiór jest w rzeczywistości odpowiednikiem idealizatora w pierścieniu Liego. Nie trzeba podawać, że [ S , r ] ⊆ S , ponieważ antyprzemienność iloczynu Liego powoduje , że [ s , r ] = −[ r , s ] ∈ S . „Normalizator” Liego S jest największym podpierścieniem L , w którym S jest ideałem Liego.

Uwagi

Często, gdy prawe lub lewe ideały są addytywnymi podgrupami R będącego przedmiotem zainteresowania, idealizator jest definiowany prościej, wykorzystując fakt, że mnożenie przez elementy pierścienia jest już pochłonięte z jednej strony. wyraźnie,

${\ Displaystyle \ mathbb {I} _ {R} (T) = \ {r \ w R \ mid rT \ subseteq T \}}$

jeśli T jest właściwym ideałem, lub

${\ Displaystyle \ mathbb {I} _ {R} (L) = \ {r \ w R \ mid Lr \ subseteq L \}}$

jeśli L jest ideałem lewostronnym.

W algebrze przemiennej idealizator jest związany z bardziej ogólną konstrukcją. Mając pierścień przemienny R i dwa podzbiory A i B prawego modułu R M , przewodnik lub transporter jest określony wzorem

${\ Displaystyle (A: B): = \ {r \ w R \ mid Br \ subseteq A \}}$ .

Jeśli chodzi o tę notację przewodnika, dodatkowa podgrupa B z R ma idealizator

${\ Displaystyle \ mathbb {I} _ {R} (B) = (B: B)}$ .

Kiedy A i B są ideałami R , przewodnik jest częścią struktury resztkowej sieci ideałów R .

Przykłady

  Algebra mnożnikowa M ( A ) C*-algebry A jest izomorficzna z idealizatorem π ( A ), gdzie π jest dowolną wierną niezdegenerowaną reprezentacją A w przestrzeni Hilberta H .

Notatki

•   Goodearl, KR (1976), Teoria pierścieni: Niepojedyncze pierścienie i moduły , Pure and Applied Mathematics, nr 33, Nowy Jork: Marcel Dekker Inc., s. VIII + 206, MR 0429962
•    Levy, Lawrence S.; Robson, J. Chris (2011), Dziedziczne noetherowskie pierścienie pierwsze i idealizatory , Mathematical Surveys and Monographs, tom. 174, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, s. IV + 228, ISBN 978-0-8218-5350-4 , MR 2790801
•    Michałow, Aleksander V.; Pilz, Günter F., wyd. (2002), Zwięzły podręcznik algebry , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. xvi + 618, ISBN 0-7923-7072-4 , MR 1966155