Produkt firmy Blaschke

W analizie zespolonej iloczyn Blaschkego jest ograniczoną funkcją analityczną na otwartym dysku jednostkowym skonstruowanym tak, aby miał zera w (skończonej lub nieskończonej) sekwencji określonych liczb zespolonych

₀ za , za ₁ , ...

wewnątrz dysku jednostkowego , z tą właściwością, że moduł funkcji jest stały wzdłuż granicy dysku.

Iloczyn Blaschkego, B(z), związany z 50 losowo wybranymi punktami na dysku jednostkowym. B(z) jest reprezentowane jako Matplotlib przy użyciu wersji metody kolorowania domeny .

Produkty Blaschke zostały wprowadzone przez Wilhelma Blaschke ( 1915 ). Są one powiązane z przestrzeniami Hardy'ego .

Definicja

sekwencja punktów wewnątrz dysku jednostkowego spełnia warunek Blaschkego, gdy $\ Displaystyle (a_ {n})}$

{\ Displaystyle \ suma _ {n} (1- | a_ {n} |) <\ infty.}

Biorąc pod uwagę sekwencję spełniającą warunek Blaschkego, iloczyn Blaschkego jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle B (z) = \ prod _ {n} B (a_ {n}, z)}

z czynnikami

\ Displaystyle B (a, z) = {\ Frac {| a |} {a}} \; {\ Frac {az} {1- {\ overline {a}} z }}}

0 pod warunkiem, że a ≠ 0. Tutaj jest złożonym koniugatem $}}$ { a } Kiedy a = 0 weź B ( , z ) = z .

Produkt Blaschkego B ( z ) $.$ funkcję analityczną na otwartym dysku jednostkowym i zero dokładnie na za n ( _z liczoną krotnością ): ponadto znajduje się w klasie

Sekwencja n _{spełniająca} powyższe kryterium zbieżności jest czasami nazywana sekwencją Blaschkego .

Twierdzenie Szegő

Twierdzenie Gábora Szegő stwierdza, że jeśli f jest w , przestrzeni Hardy'ego z $całkowalną$ normą, a jeśli jest identycznie zerem, to zera f (z pewnością policzalne) spełniają warunek Blaschkego.

Skończone produkty Blaschkego

Skończone produkty Blaschkego można scharakteryzować (jako funkcje analityczne na dysku jednostkowym) w następujący sposób: Załóżmy, że f jest funkcją analityczną na otwartym dysku jednostkowym, taką że f można rozszerzyć do funkcji ciągłej na zamkniętym dysku jednostkowym

{\ Displaystyle {\ overline {\ delta}} = \ {z \ w \ mathbb {C} \, |\, | z |\ równoważnik 1 \}}

który odwzorowuje okrąg jednostkowy na siebie. Wówczas „f” jest równe skończonemu iloczynowi Blaschkego

\ Displaystyle B (z) = \ zeta \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ lewo ( {{z-a_{i}} \over {1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}}}

gdzie ζ leży na okręgu jednostkowym, a m _i jest krotnością zera a _i , | a _ja | < 1. W szczególności, jeśli f spełnia powyższy warunek i nie ma zer w okręgu jednostkowym, to f jest stałe (fakt ten jest również konsekwencją zasady maksimum dla funkcji harmonicznych , zastosowanej do funkcji harmonicznej log(| f ( z )|)).

Zobacz też

W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesel. der Wiss. Lipsk, 67 (1915) s. 194–200
Peter Colwell, Produkty Blaschke — ograniczone funkcje analityczne (1985), University of Michigan Press, Ann Arbor, 140 stron. ISBN 0-472-10065-3
Conway, John B. Funkcje zmiennej zespolonej II . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 159. Springer-Verlag . s. 273–274. ISBN 0-387-94460-5 .
Tamrazov, PM (2001) [1994], „Produkt Blaschkego” , Encyklopedia matematyki , EMS Press