jądro Bergmana

W badaniach matematycznych kilku zmiennych zespolonych jądro Bergmana , nazwane na cześć Stefana Bergmana , jest jądrem odtwarzającym przestrzeń Hilberta ( RKHS ⁾ wszystkich całkowalnych funkcji holomorficznych z kwadratem w domenie D w Cn .

W szczegółach niech L ² ( D ) będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych do kwadratu na D , i niech L ^{2, h} ( D ) oznacza podprzestrzeń składającą się z funkcji holomorficznych w L ² ( D ): tj.

{\ Displaystyle L ^ {2, h} (D) = L ^ {2} (D) \ czapka H (D)}

gdzie H ( D ) jest przestrzenią funkcji holomorficznych w D . Wtedy L ^{2, h} ( D ) jest przestrzenią Hilberta: jest to zamknięta liniowa podprzestrzeń L ² ( D ), a zatem kompletna sama w sobie. Wynika to z podstawowego oszacowania, że dla holomorficznej funkcji całkowalnej z kwadratem ƒ w D

{\ Displaystyle \ sup _ {z \ w K} | f (z) | \ równoważnik C_ {K} \ | f \ | _ {L ^ {2} (D) }}

()

dla każdego zwartego podzbioru K z D . Zatem zbieżność ciągu funkcji holomorficznych w L ² ( D ) implikuje również zbieżność zwartą , a więc funkcja graniczna jest również holomorficzna.

Inną konsekwencją () jest to, że dla każdego z ∈ D ocena

{\ Displaystyle \ operatorname {ev} _ {z}: f \ mapsto f (z)}

jest ciągłym funkcjonałem liniowym na L ^{2, h} ( D ). Za pomocą twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonał ten można przedstawić jako iloczyn wewnętrzny z elementem L ^{2, h} ( D ), co oznacza, że

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {ev} _ {z} f = \ int _ {D} f (\ zeta) {\ overline {\ eta _ {z} (\ zeta)}} \, d \ mu (\ zeta) .}

Jądro Bergmana K jest zdefiniowane przez

{\ Displaystyle K (z, \ zeta) = {\ overline {\ eta _ {z} (\ zeta)}}.}

Jądro K ( z , ζ) jest holomorficzne w z i antyholomorficzne w ζ i spełnia

{\ Displaystyle f (z) = \ int _ {D} K (z, \ zeta) f (\ zeta) \, d \ mu (\ zeta).}

$n$ to, że L ^{, h} ( re ) można utożsamiać z przestrzenią form holomorficznych ( , 0) na D, poprzez pomnożenie przez ${\ Displaystyle dz ^ {1} \ klin \ cdots \ klin dz ^ {n}}$ . Ponieważ $biholomorfizmów$ D, jądro Bergmana i związana z nim metryka Bergmana zatem automatycznie niezmienne w grupie automorfizmów dziedziny.

Zobacz też

Krantz, Steven G. (2002), Teoria funkcji kilku zmiennych zespolonych , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2724-6 .
Chirka, EM (2001) [1994], „Funkcja jądra Bergmana” , Encyklopedia matematyki , EMS Press .