Krzywa Kappy

Krzywa kappa ma dwie pionowe asymptoty

W geometrii krzywa kappa lub krzywa Gutschovena jest dwuwymiarową krzywą algebraiczną przypominającą grecką literę ϰ (kappa) . Krzywa kappa została po raz pierwszy zbadana przez Gérarda van Gutschovena około 1662 roku. W historii matematyki jest pamiętana jako jeden z pierwszych przykładów zastosowania przez Izaaka Barrowa podstawowych metod rachunku różniczkowego do określenia stycznej krzywej. Izaaka Newtona i Johanna Bernoulliego kontynuował następnie badania tej krzywej.

Używając kartezjańskiego układu współrzędnych można to wyrazić jako

${\ Displaystyle x ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) = a ^ {2} y ^ {2} }$

lub używając równań parametrycznych ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = a \ sin t, \\ y & = a \ sin t \ tan t. \ koniec {wyrównane}}}$

We współrzędnych biegunowych jego równanie jest jeszcze prostsze:

${\ displaystyle r = a \ tan \ teta.}$

Ma dwie pionowe asymptoty w x = ± a , pokazane jako przerywane niebieskie linie na rysunku po prawej stronie.

Krzywizna krzywej kappa :

${\ Displaystyle \ kappa (\ theta) = {\ Frac {8 \ lewo (3- \ sin ^ {2} \ theta \ prawo) \ sin ^ {4} \ theta} {a \ lewo (\ sin ^ {2 }(2\theta )+4\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

styczny :

${\ Displaystyle \ phi (\ theta) = - \ arctan \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ sin (2 \ teta) \ prawo).}$

Styczne przez nieskończenie małe

Linie styczne krzywej kappa można również wyznaczyć geometrycznie za pomocą różniczek i elementarnych reguł arytmetyki nieskończenie małych . Załóżmy, x i y są zmiennymi, podczas gdy a jest stałą. Z definicji krzywej kappa,

${\ Displaystyle x ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) -a ^ {2} y ^ {2 }=0}$

Teraz nieskończenie mała zmiana w naszej lokalizacji musi również zmienić wartość lewej strony, więc

${\ Displaystyle d \ lewo (x ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawo) -a ^ {2}y^{2}\prawo)=0}$

Dystrybucja dyferencjału i zastosowanie odpowiednich reguł ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d \ lewo (x ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawo) \ prawo) -d \ lewo (a ^ {2} y ^ {2}\right)&=0\\[6px](2x\,dx)\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}(2x\,dx+2y \,dy)-a^{2}2y\,dy&=0\\[6px]\left(4x^{3}+2xy^{2}\right)dx+\left(2yx^{2}-2a^ {2}y\right)dy&=0\\[6px]x\left(2x^{2}+y^{2}\right)dx+y\left(x^{2}-a^{2} \right)dy&=0\\[6px]{\frac {x\left(2x^{2}+y^{2}\right)}{y\left(a^{2}-x^{2} \right)}}&={\frac {dy}{dx}}\end{wyrównane}}}$

Pochodna

Jeśli użyjemy nowoczesnej koncepcji zależności funkcjonalnej y ( x ) i zastosujemy niejawne różniczkowanie , nachylenie linii stycznej do krzywej kappa w punkcie ( x , y ) wynosi:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 2x \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawo) + x ^ {2} \ lewo (2x + 2y {\ Frac {dy} {dx}} \ w prawo)&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]2x^{3}+2xy^{2}+2x^{3}&=2a^{2}y {\frac {dy}{dx}}-2x^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]4x^{3}+2xy^{2}&=\left(2a^ {2}y-2x^{2}y\prawo){\frac {dy}{dx}}\\[6px]{\frac {2x^{3}+xy^{2}}{a^{2 }yx^{2}y}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}$

•   Lawrence, J. Dennis (1972). Katalog specjalnych krzywych płaszczyzny . Nowy Jork: Dover. s. 139–141 . ISBN 0-486-60288-5 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Krzywa Kappa” . MathWorld .
• Aplet Java do zabawy z krzywą
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , „Kappa Curve” , archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews