Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Klasyczna definicja lub interpretacja prawdopodobieństwa utożsamiana jest z pracami Jacoba Bernoulliego i Pierre-Simona Laplace'a . Jak stwierdzono w Théorie analytique des probabilités Laplace'a ,
- Prawdopodobieństwo zdarzenia jest stosunkiem liczby przypadków mu sprzyjających do liczby wszystkich przypadków możliwych, gdy nic nie pozwala nam oczekiwać, że któryś z tych przypadków wystąpi częściej niż jakikolwiek inny, co czyni je dla nas równie możliwe.
Definicja ta jest zasadniczo konsekwencją zasady obojętności . Jeśli elementarnym zdarzeniom przypisuje się równe prawdopodobieństwa, to prawdopodobieństwo alternatywy zdarzeń elementarnych jest po prostu liczbą zdarzeń w alternatywie podzieloną przez całkowitą liczbę zdarzeń elementarnych.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa została zakwestionowana przez kilku dziewiętnastowiecznych pisarzy, w tym Johna Venna i George'a Boole'a . Częsta definicja prawdopodobieństwa stała się powszechnie akceptowana w wyniku ich krytyki, a zwłaszcza dzięki pracom RA Fishera . Klasyczna definicja cieszyła się swego rodzaju odrodzeniem ze względu na ogólne zainteresowanie prawdopodobieństwem bayesowskim , ponieważ metody bayesowskie wymagają uprzedniego rozkładu prawdopodobieństwa , a zasada obojętności oferuje jedno ze źródeł takiego rozkładu. Klasyczne prawdopodobieństwo może oferować wcześniejsze prawdopodobieństwa, które odzwierciedlają ignorancję, która często wydaje się odpowiednia przed przeprowadzeniem eksperymentu.
Historia
Jako przedmiot matematyczny, teoria prawdopodobieństwa powstała bardzo późno – w porównaniu na przykład z geometrią – pomimo faktu, że mamy prehistoryczne dowody na to, że człowiek grał w kości z kultur z całego świata. Jednym z pierwszych pisarzy zajmujących się prawdopodobieństwem był Gerolamo Cardano . Być może stworzył najwcześniejszą znaną definicję klasycznego prawdopodobieństwa.
Trwały rozwój prawdopodobieństwa rozpoczął się w roku 1654, kiedy Blaise Pascal korespondował z przyjacielem swego ojca, Pierre'em de Fermatem, w sprawie dwóch problemów dotyczących gier losowych, które usłyszał od Chevalier de Méré na początku tego samego roku, któremu Pascal towarzyszył podczas wycieczka. Jednym z problemów był tzw. problem punktów , klasyczny już wówczas problem (traktowany przez Luca Pacioli już w 1494 r., a jeszcze wcześniej w anonimowym rękopisie w 1400 r.), zajmujący się kwestią podziału pieniędzy wchodzących w grę w fair way , gdy dana gra zostaje przerwana w połowie. Drugi problem dotyczył praktycznej zasady matematycznej, która zdawała się nie obowiązywać przy rozszerzaniu gry w kości z użycia jednej kości do dwóch kości. Ten ostatni problem, czy też paradoks, był odkryciem samego Méré i pokazał, według niego, jak niebezpieczne jest stosowanie matematyki w rzeczywistości. Podczas podróży omawiali również inne matematyczno-filozoficzne kwestie i paradoksy, które zdaniem Méré wzmacniały jego ogólny pogląd filozoficzny.
Pascal, nie zgadzając się z poglądem Méré na matematykę jako coś pięknego i bezbłędnego, ale słabo powiązanego z rzeczywistością, postanowił udowodnić, że Méré się mylił, rozwiązując te dwa problemy w ramach czystej matematyki. Kiedy dowiedział się, że Fermat, uznawany już za wybitnego matematyka, doszedł do tych samych wniosków, był przekonany, że ostatecznie rozwiązali problemy. Ta korespondencja krążyła wśród innych uczonych w tamtym czasie, w szczególności do Huygensa , Robervala i pośrednio Caramuela , i stanowi punkt wyjścia, kiedy matematycy w ogóle zaczęli badać problemy z gier losowych. W korespondencji nie wspomniano o „prawdopodobieństwie”; Skoncentrowano się na uczciwych cenach.
Pół wieku później Jacob Bernoulli wykazał się wyrafinowanym podejściem do prawdopodobieństwa. Pokazał łatwość permutacji i kombinacji, omówił koncepcję prawdopodobieństwa z przykładami wykraczającymi poza klasyczną definicję (takimi jak decyzje osobiste, sądowe i finansowe) i pokazał, że prawdopodobieństwa można oszacować na podstawie powtarzanych prób, przy czym niepewność zmniejsza się wraz ze wzrostem liczby prób.
Tom klasycznej Encyklopedii Diderota i d'Alemberta z 1765 r . Zawiera obszerne omówienie prawdopodobieństwa i podsumowanie dotychczasowej wiedzy. Dokonuje się rozróżnienia między prawdopodobieństwami „wyprowadzonymi z rozważań samej natury” (fizyczne) i prawdopodobieństwami „opartymi wyłącznie na doświadczeniu z przeszłości, które może skłonić nas do wyciągnięcia wniosków na przyszłość” (dowodowe).
Źródłem jasnej i trwałej definicji prawdopodobieństwa był Laplace . Dopiero w 1814 roku stwierdził:
Teoria przypadku polega na sprowadzeniu wszystkich zdarzeń tego samego rodzaju do pewnej liczby równie możliwych przypadków, to znaczy do takich, co do których możemy być jednakowo niezdecydowani co do ich istnienia, oraz na określeniu liczby przypadków korzystne dla zdarzenia, którego prawdopodobieństwo jest poszukiwane. Stosunek tej liczby do liczby wszystkich możliwych przypadków jest miarą tego prawdopodobieństwa, które jest zatem po prostu ułamkiem, którego licznikiem jest liczba przypadków korzystnych, a mianownikiem liczba wszystkich możliwych przypadków.
- Pierre-Simon Laplace, Filozoficzny esej o prawdopodobieństwie
Ten opis ostatecznie dostarczyłby klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Laplace opublikował kilka wydań wielu dokumentów (technicznych i popularyzatorskich) dotyczących prawdopodobieństwa na przestrzeni pół wieku. Wielu jego poprzedników (Cardano, Bernoulli, Bayes) opublikowało pośmiertnie jeden dokument.
Krytyka
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa przypisuje równe prawdopodobieństwa zdarzeniom opartym na fizycznej symetrii, która jest naturalna dla monet, kart i kości.
- Niektórzy matematycy sprzeciwiają się temu, że definicja jest okrężna. Prawdopodobieństwo „uczciwej” monety wynosi... „uczciwa” moneta jest określona przez prawdopodobieństwo...
- Definicja jest bardzo ograniczona. Nie mówi nic o przypadkach, w których nie istnieje fizyczna symetria. Na przykład składki ubezpieczeniowe można racjonalnie wycenić jedynie na podstawie zmierzonych wskaźników strat.
- Uzasadnienie zasady obojętności nie jest trywialne, z wyjątkiem najprostszych i najbardziej wyidealizowanych przypadków (rozszerzenie ograniczonej definicji problemu). Monety nie są tak naprawdę symetryczne. Czy możemy przypisać równe prawdopodobieństwa każdej ze stron? Czy możemy przypisać równe prawdopodobieństwo dowolnemu doświadczeniu w świecie rzeczywistym?
Jakkolwiek ograniczająca, definicja towarzyszy znacznej pewności. Kasyno, które obserwuje wyraźne odejście od klasycznego prawdopodobieństwa, jest przekonane, że jego założenia zostały naruszone (ktoś oszukuje). [ potrzebne źródło ] [ sporne ] Znaczna część matematyki prawdopodobieństwa została opracowana na podstawie tej uproszczonej definicji. Alternatywne interpretacje prawdopodobieństwa (na przykład częstości i subiektywne ) również mają problemy.
Matematyczna teoria prawdopodobieństwa zajmuje się abstrakcjami, unikając ograniczeń i filozoficznych komplikacji jakiejkolwiek interpretacji prawdopodobieństwa.
- Pierre-Simon de Laplace. Théorie analytique des probabilités . Paryż: Courcier Imprimeur, 1812.
- Pierre-Simon de Laplace. Essai philosophique sur les probabilités , wydanie 3. Paryż: Courcier Imprimeur, 1816.
- Pierre-Simon de Laplace. Filozoficzny esej o prawdopodobieństwie . New York: Springer-Verlag, 1995. (Przetłumaczone przez AI Dale z piątego wydania francuskiego, 1825. Obszerne notatki).