Kongruencja Mirimanowa
W teorii liczb , gałęzi matematyki , kongruencja Mirimanowa jest jednym ze zbiorów wyrażeń w arytmetyce modułowej , które, jeśli są spełnione, pociągają za sobą prawdziwość ostatniego twierdzenia Fermata . Ponieważ twierdzenie zostało teraz udowodnione, mają one teraz głównie znaczenie historyczne, chociaż wielomiany Mirimanowa są interesujące same w sobie. Twierdzenie pochodzi od Dmitrija Mirimanowa .
Definicja
N - ty wielomian Mirimanowa dla liczby pierwszej p wynosi
Pod względem tych wielomianów, jeśli t jest jedną z sześciu wartości {- X / Y , - Y / X , - X / Z , - Z / X , - Y / Z , - Z / Y } gdzie X p + Y Zatem p + Z p = 0 jest rozwiązaniem Wielkiego Twierdzenia Fermata
- φ p -1 ( t ) ≡ 0 (mod p )
- φ p -2 ( t ) φ 2 ( t ) ≡ 0 (mod p )
- φ p -3 ( t ) φ 3 ( t ) ≡ 0 (mod p )
- ...
- φ ( p +1)/2 ( t )φ ( p -1)/2 ( t ) ≡ 0 (mod p )
Inne kongruencje
Mirimanoff udowodnił również, co następuje:
- Jeśli nieparzysta liczba pierwsza p nie dzieli jednego z liczników liczb Bernoulliego B p -3 , B p -5 , B p -7 lub B p -9 , to pierwszy przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata, gdzie p nie dzieli X , Y lub Z w równaniu X p + Y p + Z p = 0, zachodzi.
- Jeśli pierwszy przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata zawiedzie dla liczby pierwszej p , to 3 p -1 ≡ 1 (mod p 2 ). Liczba pierwsza z tą właściwością jest czasami nazywana liczbą pierwszą Mirimanoffa , analogicznie do liczby pierwszej Wiefericha , która jest liczbą pierwszą taką, że 2 p -1 ≡ 1 (mod p 2 ). Istnienie liczb pierwszych spełniających takie kongruencje zostało rozpoznane na długo przed tym, zanim ich implikacje dla pierwszego przypadku Wielkiego Twierdzenia Fermata stały się oczywiste; ale chociaż odkrycie pierwszej liczby pierwszej Wiefericha nastąpiło po tych teoretycznych osiągnięciach i było przez nie spowodowane, pierwszy przypadek liczby pierwszej Mirimanowa jest tak mały, że był już znany, zanim Mirimanoff sformułował powiązanie z FLT w 1910 r., co może wyjaśniać niechęć niektórych pisarzy do używania nazwy. Już w swoim artykule z 1895 roku (s. 298) Mirimanoff nawiązuje do dość skomplikowanego testu dla liczb pierwszych znanych obecnie pod jego imieniem, wywodzącego się ze wzoru opublikowanego przez Sylwestra w 1861 r., który ma niewielką wartość obliczeniową, ale ma duże znaczenie teoretyczne. Test ten został znacznie uproszczony przez Lercha (1905), s. 476, który wykazał, że ogólnie dla p > 3,
tak, że liczba pierwsza posiada właściwość Mirimanoffa, jeśli dzieli wyrażenie w nawiasach klamrowych. Warunek ten został dodatkowo dopracowany w ważnej pracy Emmy Lehmer (1938), w której rozważała intrygujące i wciąż bez odpowiedzi pytanie, czy liczba może jednocześnie spełniać kongruencje Wiefericha i Mirimanoffa. Do tej pory jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Mirimanoffa są 11 i 1006003 (sekwencja A014127 w OEIS ). Odkrycie drugiego z nich wydaje się być zasługą KE Klossa (1965).
- KE Kloss, „Niektóre obliczenia z teorii liczb”, Journal of Research of the National Bureau of Standards-B. Matematyka i fizyka matematyczna 69 (1965), s. 335–336.
- Emma Lehmer, „O kongruencjach liczb Bernoulliego i ilorazach Fermata i Wilsona”, Annals of Mathematics 39 (1938), s. 350–360.
- M. Lerch, „Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…” Mathematische Annalen 60 (1905), s. 471–490 [1] .
- D. Mirimanoff, "Sur la Congruence ( r p -1 - 1): p ≡ q r ," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895), s. 295–300 [2] . Niektóre poprawki podano w artykule z 1937 r. Poniżej.
- D. Mirimanoff, „Sur le dernier théorème de Fermat et le Critérium de MA Wieferich”, L'Enseignement Mathématique 11 (1909), s. 455–459 [3] .
- D. Mirimanoff, „Sur le dernier théorème de Fermat”, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences 150 (1910), s. 204–206; poprawiona i rozszerzona wersja tego artykułu ukazała się pod tym samym tytułem w Journal für die reine und angewandte Mathematik 139 (1911), s. 309–324 [4] .
- D. Mirimanoff, „Sur les nombres de Bernoulli”, L'Enseignement Mathématique 36 (1937), s. 228–235 [5] .
- Paulo Ribenboim , 13 wykładów na temat ostatniego twierdzenia Fermata , Springer, 1979
- Paulo Ribenboim, Moje liczby, moi przyjaciele: popularne wykłady z teorii liczb , Springer, 2006