Korba partycji

Freemana Dysona w 2005 roku

W teorii liczb korba podziału liczby całkowitej jest pewną liczbą całkowitą powiązaną z podziałem . Termin ten został po raz pierwszy wprowadzony bez definicji przez Freemana Dysona w artykule z 1944 roku opublikowanym w Eureka , czasopiśmie wydawanym przez Mathematics Society of Cambridge University . Następnie Dyson podał listę właściwości, jakie powinna mieć ta wielkość, która jeszcze nie została zdefiniowana. W 1988 roku George E. Andrews i Frank Garvan odkryli definicję korby spełniającą właściwości, jakie postawili dla niej Dyson.

Korba Dysona

Niech n będzie nieujemną liczbą całkowitą i niech p ( n ) oznacza liczbę podziałów n ( p (0) jest zdefiniowane jako 1). Srinivasa Ramanujan w artykule opublikowanym w 1918 roku stwierdził i udowodnił następujące kongruencje dla funkcji podziału p ( n ), znanej odtąd jako kongruencje Ramanujana .

• p (5 n + 4) ≡ 0 (mod 5)
• p (7 n + 5) ≡ 0 (mod 7)
• p (11 n + 6) ≡ 0 (mod 11)

Z tych kongruencji wynika, że ​​podziały liczb postaci 5 n + 4 (odpowiednio postaci 7 n + 5 i 11 n + 6 ) można podzielić na 5 (odpowiednio 7 i 11) podklas równej wielkości. Znane wówczas dowody tych kongruencji opierały się na ideach funkcji generujących i nie określały metody podziału podklas na równej wielkości podklasy.

W swoim artykule Eureka Dyson zaproponował koncepcję rangi partycji . Ranga partycji to liczba całkowita uzyskana przez odjęcie liczby części w partycji od największej części w partycji. Na przykład ranga podziału λ = { 4, 2, 1, 1, 1 } z 9 wynosi 4 - 5 = -1. Oznaczając przez N ( m , q , n ), liczbę podziałów n , których szeregi są przystające do m modulo q , Dyson rozważał N ( m , 5, 5 n + 4) i N ( m , 7, 7 n + 5 ) dla różnych wartości n i m . Na podstawie dowodów empirycznych Dyson sformułował następujące hipotezy znane jako hipotezy rang .

Dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych n mamy:

• N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N (2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N ( 4, 5, 5 n + 4).
• N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) = N (3, 7, 7 n + 5) = N ( 4, 7, 7 n + 5) = N (5, 7, 7 n + 5) = N (6, 7, 7 n + 5)

Zakładając, że te przypuszczenia są prawdziwe, dostarczyły one sposobu na podzielenie wszystkich podziałów liczb postaci 5 n + 4 na pięć równych klas: Umieść w jednej klasie wszystkie te podziały, których szeregi są sobie równe modulo 5. ten sam pomysł można zastosować do podzielenia podziałów liczb całkowitych postaci 7 n + 6 na siedem równie licznych klas. Ale pomysł nie udaje się podzielić partycji liczb całkowitych postaci 11 n + 6 na 11 klas tego samego rozmiaru, jak pokazuje poniższa tabela.

Podziały liczby całkowitej 6 ( 11 n + 6 z n = 0 ) podzielone na klasy na podstawie rang

ranga ≡ 0 (mod 11)	ranga ≡ 1 (mod 11)	ranga ≡ 2 (mod 11)	ranga ≡ 3 (mod 11)	ranga ≡ 4 (mod 11)	ranga ≡ 5 (mod 11)	ranga ≡ 6 (mod 11)	ranga ≡ 7 (mod 11)	ranga ≡ 8 (mod 11)	ranga ≡ 9 (mod 11)	ranga ≡ 10 (mod 11)
{3,2,1}	{4,1,1}	{4,2}	{5,1}		{6}	{1,1,1,1,1,1}		{2,1,1,1,1}	{2,2,1,1}	{2,2,2}
	{3,3}									{3,1,1,1}

Zatem rangi nie można użyć do udowodnienia twierdzenia w sposób kombinatoryczny. Jednak Dyson napisał:

trzymam w rzeczywistosci:

• że istnieje współczynnik arytmetyczny podobny do rangi podziału, ale bardziej zrozumiały niż stopień podziału; Nazwę ten hipotetyczny współczynnik „korbą” podziału i oznaczę przez M ( m , q , n ) liczbę podziałów n , którego korba jest przystająca do m modulo q;
• że M ( m , q , n ) = M ( q - m , q , n );
• że M (0, 11, 11 n + 6) = M (1, 11, 11 n + 6) = M (2, 11, 11 n + 6) = M (3, 11, 11 n + 6) = M (4, 11, 11 n + 6);
• To . . .

Czy przypuszczenia te są uzasadnione dowodami, pozostawiam czytelnikowi do rozstrzygnięcia. Niezależnie od ostatecznego werdyktu potomności, wierzę, że „korba” jest wyjątkowa wśród funkcji arytmetycznych, ponieważ została nazwana, zanim została odkryta. Oby uchroniło ją przed haniebnym losem planety Vulcan .

Definicja korby

W artykule opublikowanym w 1988 roku George E. Andrews i FG Garvan zdefiniowali korbę partycji w następujący sposób:

Dla podziału λ niech ℓ ( λ ) oznacza największą część λ , ω ( λ ) oznacza liczbę jedynek w λ , a μ ( λ ) oznacza liczbę części λ większą niż ω ( λ ). Korba do ( λ ) jest dana przez

${\ Displaystyle c (\ lambda) ={\begin{przypadki}\ell (\lambda )&{\text{if }}\omega (\lambda )=0\\\mu (\lambda )-\omega (\lambda )&{\text{if }}\omega (\lambda )>0.\end{przypadki}}}$

Korby partycji liczb całkowitych 4, 5, 6 są obliczane w poniższych tabelach.

Korby przegród 4

Przegroda λ	Największa część ℓ ( λ )	Liczba jedynek ω ( λ )	Liczba części większych niż ω ( λ ) μ ( λ )	Korba c ( λ )
{4}	4	0	1	4
{3,1}	3	1	1	0
{2,2}	2	0	2	2
{2,1,1}	2	2	0	−2
{1,1,1,1}	1	4	0	−4

Korby przegród 5

Przegroda λ	Największa część ℓ ( λ )	Liczba jedynek ω ( λ )	Liczba części większych niż ω ( λ ) μ ( λ )	Korba c ( λ )
{5}	5	0	1	5
{4,1}	4	1	1	0
{3,2}	3	0	2	3
{3,1,1}	3	2	1	−1
{2,2,1}	2	1	2	1
{2,1,1,1}	2	3	0	−3
{1,1,1,1,1}	1	5	0	−5

Korby przegród 6

Przegroda λ	Największa część ℓ ( λ )	Liczba jedynek ω ( λ )	Liczba części większych niż ω ( λ ) μ ( λ )	Korba c ( λ )
{6}	6	0	1	6
{5,1}	5	1	1	0
{4,2}	4	0	2	4
{4,1,1}	4	2	1	−1
{3,3}	3	0	2	3
{3,2,1}	3	1	2	1
{3,1,1,1}	3	3	0	−3
{2,2,2}	2	0	3	2
{2,2,1,1}	2	2	0	−2
{2,1,1,1,1}	2	4	0	−4
{1,1,1,1,1,1}	1	6	0	−6

Notacje

Dla wszystkich liczb całkowitych n ≥ 0 i wszystkich liczb całkowitych m , liczba podziałów n z korbą równą m jest oznaczona przez M ( m , n ) z wyjątkiem n = 1, gdzie M (−1,1) = − M (0, 1) = M (1,1) = 1 zgodnie z poniższą funkcją generującą. Liczbę podziałów n z korbą równą m modulo q oznaczamy przez M ( m , q , n ).

Funkcja generująca dla M ( m , n ) jest podana poniżej:

${\ styl wyświetlania \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }M(m,n)z^{m}q^{n}=\prod _{ n=1}^{\infty}}{\frac {(1-q^{n})}{(1-zq^{n})(1-z^{-1}q^{n})}} }$

Podstawowy wynik

Andrews i Garvan udowodnili następujący wynik, który pokazuje, że korba zdefiniowana powyżej spełnia warunki podane przez Dysona.

• M (0, 5, 5 n + 4) = M (1, 5, 5 n + 4) = M (2, 5, 5 n + 4) = M (3, 5, 5 n + 4) = M ( 4, 5, 5 n + 4) = p (5 n + 4) / 5
• M (0, 7, 7 n + 5) = M (1, 7, 7 n + 5) = M (2, 7, 7 n + 5) = M (3, 7, 7 n + 5) = M ( 4, 7, 7 n + 5) = M (5, 7, 7 n + 5) = M (6, 7, 7 n + 5) = p (7 n + 5) / 7
• M (0, 11, 11 n + 6) = P. (1, 11, 11 n + 6) = P. (2, 11, 11 n + 6) = P. (3, 11, 11 n + 6) = . . . = M (9, 11, 11 n + 6) = M (10, 11, 11 n + 6) = p (11 n + 6) / 11

Pojęcia rangi i korby mogą być używane do klasyfikowania partycji pewnych liczb całkowitych na podklasy o równej wielkości. Jednak te dwie koncepcje tworzą różne podklasy partycji. Ilustrują to poniższe dwie tabele.

Klasyfikacja podziałów liczby całkowitej 9 na podstawie korb

Przegrody z korbą ≡ 0 (mod 5)	Przegrody z korbą ≡ 1 (mod 5)	Przegrody z korbą ≡ 2 (mod 5)	Przegrody z korbą ≡ 3 (mod 5)	Przegrody z korbą ≡ 4 (mod 5)
{ 8, 1 }	{6, 3}	{ 7, 2 }	{6, 1, 1, 1}	{9}
{5, 4}	{6, 2, 1}	{ 5, 1, 1, 1, 1 }	{ 4, 2, 1, 1, 1 }	{ 7, 1, 1 }
{5, 2, 2}	{ 5, 3, 1 }	{ 4, 2, 2, 1 }	{ 3, 3, 3 }	{5, 2, 1, 1}
{ 4, 3, 1, 1 }	{ 4, 4, 1 }	{3,3,2,1}	{3, 2, 2, 2}	{ 4, 3, 2 }
{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }	{3,3,1,1,1}	{2,2,2,2,1}	{ 3, 2, 2, 1, 1 }
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }	{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}	{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

Klasyfikacja podziałów liczby całkowitej 9 na podstawie rang

Partycje z rangą ≡ 0 (mod 5)	Partycje z rangą ≡ 1 (mod 5)	Partycje z rangą ≡ 2 (mod 5)	Partycje z rangą ≡ 3 (mod 5)	Partycje z rangą ≡ 4 (mod 5)
{ 7, 2 }	{ 8, 1 }	{6, 1, 1, 1}	{9}	{ 7, 1, 1 }
{ 5, 1, 1, 1, 1 }	{5, 2, 1, 1}	{5, 3, 1}	{6, 2, 1}	{6, 3}
{ 4, 3, 1, 1 }	{ 4, 4, 1 }	{5, 2, 2}	{5, 4}	{ 4, 2, 1, 1, 1 }
{ 4, 2, 2, 1 }	{ 4, 3, 2 }	{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }	{3,3,1,1,1}	{3,3,2,1}
{ 3, 3, 3 }	{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{2,2,2,2,1}	{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }	{3, 2, 2, 2}
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }	{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 1, 1}	{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

Ramanujan i korby

Niedawna praca Bruce'a C. Berndta i jego współpracowników ujawniła, że ​​Ramanujan wiedział o korbie, chociaż nie w takiej formie, jaką zdefiniowali Andrews i Garvan. W systematycznym badaniu Lost Notebook of Ramanujana, Berndt i jego współautorzy przedstawili istotne dowody na to, że Ramanujan wiedział o rozbiorach funkcji generowania korby.