Krzywa intensywność-czas trwania-częstotliwość

intensywności , czasu trwania i częstotliwości ( krzywa IDF ) to funkcja matematyczna, która wiąże intensywność opadów z czasem ich trwania i częstotliwością występowania. Krzywe te są powszechnie stosowane w hydrologii do prognozowania powodzi i inżynierii lądowej do projektowania odwodnień miejskich . Jednak krzywe IDF są również analizowane w hydrometeorologii ze względu na zainteresowanie stężeniem w czasie lub struktura czasowa opadów . Ponadto Heidari i in. (2020) niedawno opracowali krzywe IDF dla zdarzeń suszy

Podejścia matematyczne

Krzywe IDF mogą przyjmować różne wyrażenia matematyczne, teoretyczne lub empiryczne dopasowane do obserwowanych danych dotyczących opadów. Dla każdego czasu trwania (np. 5, 10, 60, 120, 180… minut) ustawiana jest empiryczna dystrybucja skumulowana (ECDF) oraz wyznaczona częstotliwość lub okres powrotu . Dlatego empiryczna krzywa IDF jest wypadkową punktów o jednakowej częstości występowania oraz różnym czasie trwania i natężeniu Podobnie teoretyczna lub półempiryczna krzywa IDF to taka, której wyrażenie matematyczne jest fizycznie uzasadnione, ale przedstawia parametry, które należy oszacować przez dopasowania empiryczne.

Podejścia empiryczne

Istnieje wiele podejść empirycznych, które wiążą intensywność ( I ), czas trwania ( t ) i okres powrotu ( p ), z praw dopasowania do potęg, takich jak:

• Wzór Shermana z trzema parametrami ( a , c i n ), które są funkcją okresu zwrotu, p :

${\ Displaystyle I (t) = {\ frac {a }{(t+c)^{n}}}}$

• Formuła Chowa, również z trzema parametrami ( a , c i n ), dla określonego okresu zwrotnego p :

${\ Displaystyle I (t) = {\ Frac {a} {t ^ {n} + c}}}$

• Prawo potęgowe według Aparicio (1997), z czterema parametrami ( za , c , m i n ), już skorygowane dla wszystkich interesujących okresów zwrotu:

${\ Displaystyle I (t, p) = a \ cdot {\ Frac {p ^ {m} }{(t+c)^{n}}}}$

W hydrometeorologii proste prawo potęgowe (biorąc ${\ displaystyle \ c = 0}$ jest używane według Monjo (2016) jako miara struktury czasowej opadów: do

${\ Displaystyle I (t) = {\ Frac {a} {t ^ {n}}} = ja_ {o} \ lewo ({\ Frac {t_{o}}{t}}\prawo)^{n}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ I_ {o}}$ jest zdefiniowany jako intensywność odniesienia dla ustalonego czasu ${\ displaystyle \ t_ {o}}$ , tj. $}}$${\ displaystyle \ a = ja_ {o} t_ {o} ^ {$$n$ i jest parametrem znanym jako n -index . W przypadku opadów odpowiednik krzywej IDF nazywa się maksymalnej średniej intensywności (MAI).

Podejścia teoretyczne

Aby uzyskać $krzywe$ IDF z $rozkładu$ prawdopodobieństwa , konieczne jest matematyczne wyizolowanie opadów $,$ ze średnią $displaystyle \ ja}$ i czas trwania ${\ displaystyle \ t}$ , za pomocą równania ${\ displaystyle \ x = it}$ i od okresu zwrotu ${\ Displaystyle p}$ jest zdefiniowany jako odwrotność ${\ Displaystyle \ 1-F (x)}$ , funkcja jest odwrotnością 1 - ${\ Displaystyle \ 1-F (x)}$${\ Displaystyle \ F (x)}$ , zgodnie z:

${\ Displaystyle To = f (p) \ quad \ Lewa tarcza \ quad p = {\ Frac {1} {1-F (to)}} }$

• Prawo potęgowe z okresem zwrotu, wyprowadzone z rozkładu Pareto , przez ustalony czas ${\ displaystyle \ t}$ :

${\ Displaystyle \ ja (p) = kp ^ {m} \ quad \ Lefttarrow \ quad F (to) = 1- \ lewo ({\ Frac { kt {It}} \ right) ^ {1/m} = 1- {\ Frac {1} {p}}}$

gdzie stała rozkładu Pareto została ponownie zdefiniowana jako ${\ Displaystyle \ k'= kt}$ , ponieważ jest to prawidłowy rozkład dla określonego czasu trwania opadów, przyjęto, że $\ displaystyle \ x}$${\ Displaystyle \ x = to}$ .

• Funkcja wyprowadzona z $trwania$ rozkładu Pareto dla danego czasu :

${\ Displaystyle I (p) = {\ rozpocząć {przypadki} \ mu + {\ Frac {\ sigma} {m}} \ cdot (p ^ {m} -1) \ quad \ Lewa tarcza \ quad F (I) = 1-\left(1+{\frac {m(I-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/m}=1-{\frac {1}{p}}&{\ text{if }}m>0,\\\quad \mu +\sigma \ln(p)\quad \quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\exp \left(-{\frac {I- \mu }{\sigma }}\right)=1-{\frac {1}{p}}&{\text{if }}m=0.\end{cases}}} Zauważ, że dla$

m $\ displaystyle \ m> 0}$ r ${\ Displaystyle \ \ mu = {\ Frac {\ sigma} {m}}}$ uogólniony rozkład Pareto pobiera prostą postać rozkładu Pareto, gdzie ${\ Displaystyle \ k' = {\ Frac {\ sigma} {m}}}$ . Jednak w $wykładniczego$ rozkładu .

• Funkcja wyprowadzona z rozkładu Gumbela i przeciwnego rozkładu Gumbela dla danego czasu ${\ displaystyle \ t}$ :

${\ Displaystyle I (p) = \ mu + \ sigma \ln \left(\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right)\quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=\exp \left(-\exp \ left(-{\frac {I-\mu}}\sigma}}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$

${\ Displaystyle I (p) = \ mu + \ sigma \ ln (\ ln p) \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ Lefttarrow \ quad \ quad F (I) = 1- \ exp \ lewo (- \ exp \left({\frac {I-\mu}}\sigma}}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$