Kwadratura Lebiediewa

W analizie numerycznej kwadratura Lebiediewa , nazwana na cześć Wiaczesława Iwanowicza Lebiediewa , jest przybliżeniem całki powierzchniowej funkcji na trójwymiarowej kuli . Siatka jest skonstruowana tak, aby mieć rotację oktaedryczną i symetrię inwersji. Liczba i położenie punktów siatki wraz z odpowiednim zestawem wag całkowania są określane przez wymuszenie dokładnego całkowania wielomianów ( lub równoważnie sferycznych harmonicznych ) do określonej kolejności, co prowadzi do sekwencji coraz gęstszych siatek analogicznych do jednowymiarowego schematu Gaussa-Legendre'a .

Siatka Lebiediewa jest często wykorzystywana do numerycznej oceny całek objętości w sferycznym układzie współrzędnych , gdzie jest połączona z jednowymiarowym schematem całkowania dla współrzędnej promieniowej. Zastosowania siatki można znaleźć w takich dziedzinach, jak chemia obliczeniowa i transport neutronów .

Całki kątowe

Całka powierzchniowa funkcji po sferze jednostkowej,

${\ Displaystyle I [f] = \ int \ operatorname {d} \ Omega \ f(\Omega )=\int _{0}^{\pi}\sin(\theta)\mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi}\mathrm {d} \ varphi \ f(\theta ,\varphi )}$

jest przybliżony w schemacie Lebiediewa jako

${\ Displaystyle {\ tylda {I}} [f] = 4 \ pi \ suma _ {i = 1} ^ {N}\ w_{i}f(\theta_{i},\varphi _{i}),}$

gdzie należy określić poszczególne punkty siatki i wagi siatki. Zastosowanie pojedynczej sumy zamiast dwóch jednowymiarowych schematów z indywidualnej dyskretyzacji θ i φ prowadzi do bardziej wydajnej procedury: do uzyskania podobnej dokładności potrzeba mniej punktów siatki. Czynnikiem konkurencyjnym jest przyspieszenie obliczeniowe dostępne przy użyciu bezpośredniego iloczynu dwóch jednowymiarowych siatek. Mimo to sieć Lebiediewa wciąż przewyższa sieci produktowe. Jednak zastosowanie dwuwymiarowej integracji lepiej pozwala na precyzyjne dostrojenie siatek i upraszcza użycie dowolnej symetrii całki w celu usunięcia równoważnych symetrii punktów siatki.

Budowa

siatki Lebiediewa są skonstruowane tak, aby leżały na powierzchni trójwymiarowej sfery jednostkowej i były niezmienne w ramach oktaedrycznej grupy rotacji z inwersją. Dla dowolnego punktu na kuli istnieje pięć, siedem, jedenaście, dwadzieścia trzy lub czterdzieści siedem równoważnych punktów w odniesieniu do grupy oktaedrycznej, z których wszystkie są zawarte w siatce. Ponadto wszystkie punkty równoważne w grupie rotacyjnej i inwersji mają te same wagi. Najmniejszy taki zestaw punktów jest tworzony ze wszystkich sześciu ^permutacji ( ± 1, 0, 0) (łącznie oznaczanych jako 1 ), co prowadzi do schematu integracji

${\ Displaystyle {\ tylda {I}} _ {6} [f] = A_ {1} \ suma _ {i = 1 }^{6}f(a_{i}^{1}),}$

Wyraźne klasy punktów siatki

	Typowy element	Ograniczenie	Liczba punktów
${\ displaystyle a ^ {1} \,}$	${\ Displaystyle (1,0,0) \,}$		6
${\ displaystyle a ^ {2} \,}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (1,1,0)}$		12
${\ Displaystyle a ^ {3} \,}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {3}}} (1,1,1)}$		8
${\ displaystyle b ^ {k} \,}$	${\ Displaystyle (l_ {k}, l_ {k}, m_ {k}) \,}$	${\ Displaystyle 2l_ {k} ^ {2} + m_ {k} ^ {2} = 1}$	24
${\ displaystyle c ^ {k} \,}$	${\ Displaystyle (p_ {k}, q_ {k}, 0) \,}$	${\ Displaystyle p_ {k} ^ {2} + q_ {k} ^ {2} = 1}$	24
${\ displaystyle d ^ {k} \,}$	${\ Displaystyle (r_ {k}, S_ {k}, W_ {k}) \,}$	${\ Displaystyle r_ {k} ^ {2} + S_ {k} ^ {2} + W_ {k} ^ {2} = 1}$	48

gdzie waga siatki wynosi A ₁ . Geometrycznie punkty te odpowiadają wierzchołkom ośmiościanu foremnego, gdy są wyrównane z osiami kartezjańskimi. Dwa kolejne zestawy punktów, odpowiadające środkom i wierzchołkom ośmiościanu, to wszystkie osiem nieskorelowanych permutacji ${\ Displaystyle 1 / {\ sqrt {3}} (\ pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ (oznaczone jako 3 ⁾ i wszystkie dwanaście permutacji ${\ Displaystyle 1 / {\ sqrt {2}} (\ pm 1, \ pm 1,0)}$ ⁽ oznaczone jako 2 ). Ten wybór punktów siatki daje początek schematowi

${\ Displaystyle {\ tylda {I}} _ {26} [f] = A_ {1} \ suma _ {i = 1} ^ {6} f (a_ {i} ^ {1}) + A_ {2} \sum _{i=1}^{12}f(a_{i}^{2})+A_{3}\sum _{i=1}^{8}f(a_{i}^{3} )}$

gdzie A ₁ , A ₂ i A ₃ są funkcjami wagowymi, które należy jeszcze wyznaczyć. Można zastosować trzy dalsze typy punktów, jak pokazano w tabeli. Każdy z tych typów klas może wnieść więcej niż jeden zestaw punktów do siatki. Ogólnie rzecz biorąc, schemat Lebiediewa jest

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tylda {I}} _ {N} [f] = A_ {1} \ suma _ {i = 1} ^ {6} f (a_ {i} ^ {1})&+A_{2}\suma _{i=1}^{12}f(a_{i}^{2})+A_{3}\suma _{i=1}^{8} f(a_{i}^{3})\\&+\suma _{k=1}^{N_{1}}B_{k}\suma _{i=1}^{24}f(b_{ i}^{k})+\suma _{k=1}^{N_{2}}C_{k}\suma _{i=1}^{24}f(c_{i}^{k}) +\sum _{k=1}^{N_{3}}D_{k}\sum _{i=1}^{48}f(d_{i}^{k}),\end{wyrównane}} }$

gdzie całkowita liczba punktów, N , wynosi

${\ Displaystyle N = 26 + 24 (N_ {1} + N_ {2}) + 48N_ {3}. \,}$

Określenie wag siatek uzyskuje się poprzez wymuszenie na schemacie całkowania dokładnie wszystkich wielomianów aż do zadanego rzędu. Na sferze jednostkowej jest to równoważne z integracją wszystkich sferycznych harmonicznych do tego samego rzędu. Problem ten upraszcza twierdzenie Siergieja Lwowicza Sobolewa , zgodnie z którym warunek ten należy nałożyć tylko na te wielomiany, które są niezmienne w oktaedrycznej grupie rotacyjnej z inwersją. Wymuszanie tych warunków prowadzi do zestawu równań nieliniowych, które zostały rozwiązane i zestawione w tabeli do rzędu 131 w wielomianie.

Linki zewnętrzne

• Kod Fortran do oceny punktów siatki Lebiediewa i wag
• Kody Pythona: quadpy i CasperBeentjes
• [1] Punkty siatki do pobrania