Kwadratura Tanh-sinh

Kwadratura Tanh-sinh to metoda całkowania numerycznego wprowadzona przez Hidetoshiego Takahashiego i Masatake Mori w 1974 roku. Jest szczególnie stosowana tam, gdzie w jednym lub obu punktach końcowych istnieją osobliwości lub nieskończone pochodne.

Metoda wykorzystuje funkcje hiperboliczne przy zmianie zmiennych

${\ Displaystyle x = \ tanh \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ pi \ sinh t \ prawej) \,}$

przekształcić całkę na przedziale x ∈ (−1, 1) na całkę na całej linii rzeczywistej t ∈ (−∞, ∞), przy czym obie całki mają tę samą wartość. Po tej transformacji całka rozpada się z podwójną szybkością wykładniczą , dlatego ta metoda jest również znana jako formuła podwójnego wykładnictwa (DE) .

Dla danego rozmiaru kroku $całka$ aproksymowana przez sumę

${\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) \, dx \ w przybliżeniu \ suma _{k=-\infty }^{\infty }w_{k}f(x_{k}),}$

z odciętymi

${\ Displaystyle x_ {k} = \ tanh \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ pi \ sinh kh \ prawej)}$

i wagi

${\ Displaystyle w_ {k} = {\ Frac {{\ Frac {1} {2}} h \ pi \ cosh kh} {\ cosh ^ {2} \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ pi \sinh kh\right)}}.}$

Używać

Metoda Tanh-Sinh jest dość niewrażliwa na zachowanie punktu końcowego. Jeśli osobliwości lub nieskończone pochodne istnieją w jednym lub obu punktach końcowych przedziału (−1, 1), są one odwzorowywane na (−∞, ∞) punkty końcowe przekształconego przedziału, zmuszając osobliwości punktów końcowych i nieskończone pochodne do zniknięcia. Powoduje to znaczne zwiększenie dokładności procedury całkowania numerycznego, która jest zwykle wykonywana za pomocą reguły trapezów . W większości przypadków przekształcona całka wykazuje szybki spadek (rozpad), umożliwiając integratorowi numerycznemu szybkie osiągnięcie zbieżności.

Podobnie jak kwadratura Gaussa , kwadratura Tanha-Sinha dobrze nadaje się do całkowania o dowolnej precyzji , gdzie pożądana jest dokładność setek, a nawet tysięcy cyfr. Zbieżność jest wykładnicza (w sensie dyskretyzacji) dla wystarczająco dobrze zachowanych całek : podwojenie liczby punktów oceny w przybliżeniu podwaja liczbę poprawnych cyfr. Jednak kwadratura Tanha-Sinha nie jest tak wydajna jak kwadratura Gaussa dla gładkich całek; ale w przeciwieństwie do kwadratury Gaussa, zwykle działa równie dobrze z całkami mającymi osobliwości lub nieskończone pochodne w jednym lub obu punktach końcowych przedziału całkowania, jak już wspomniano. Co więcej, kwadraturę Tanh-Sinh można zaimplementować w sposób progresywny, zmniejszając o połowę wielkość kroku za każdym razem, gdy poziom reguły jest podnoszony, i ponownie wykorzystując wartości funkcji obliczone na poprzednich poziomach. Kolejną zaletą jest to, że odcięte i wagi są stosunkowo łatwe do obliczenia. Koszt obliczenia par odcięta-waga dla n -cyfrowa wynosi w przybliżeniu n ² log ² n w porównaniu z n ³ log n dla kwadratury Gaussa.

Bailey i inni przeprowadzili szeroko zakrojone badania nad kwadraturą Tanha-Sinha, kwadraturą Gaussa i kwadraturą funkcji błędu, a także kilkoma klasycznymi metodami kwadraturowymi i stwierdzili, że metody klasyczne nie są konkurencyjne w stosunku do pierwszych trzech metod, zwłaszcza gdy są bardzo precyzyjne wymagane są wyniki. W referacie zaprezentowanym na konferencji RNC5 na temat liczb rzeczywistych i komputerów (wrzesień 2003), porównując kwadraturę Tanh-Sinh z kwadraturą Gaussa i kwadraturą z funkcją błędu, Bailey i Li stwierdzili: „Ogólnie rzecz biorąc, schemat Tanh-Sinh wydaje się być najlepszy. Łączy jednolicie doskonałą dokładność z krótkim czasem pracy. Obecnie jest to najbliższe prawdziwie uniwersalnemu schematowi kwadraturowemu. "

Porównując schemat z kwadraturą Gaussa i kwadraturą funkcji błędu, Bailey i in. (2005) stwierdzili, że schemat Tanh-Sinh „wydaje się być najlepszy dla całek typu najczęściej spotykanego w eksperymentalnych badaniach matematycznych”.

Bailey (2006) stwierdził, że: „Schemat kwadraturowy Tanha-Sinha jest najszybszym obecnie znanym schematem kwadraturowym o wysokiej precyzji , zwłaszcza gdy liczy się czas obliczania odciętych i wag. Został z powodzeniem zastosowany do obliczeń kwadraturowych do 20 000- cyfrowa precyzja”.

Podsumowując, schemat kwadraturowy Tanha-Sinha jest zaprojektowany tak, aby dawał najdokładniejszy wynik dla minimalnej liczby ocen funkcji. W praktyce reguła kwadratur Tanha-Sinha jest prawie zawsze najlepszą regułą i często jest jedyną skuteczną regułą, gdy poszukuje się wyników o rozszerzonej precyzji .

Implementacje

• Tanh-sinh, exp-sinh i sinh-sinh kwadratura są zaimplementowane w bibliotece C++ Boost
• Kwadratura Tanh-sinh została zaimplementowana w arkuszu kalkulacyjnym Excel z obsługą makr autorstwa Graeme Dennesa.
• Kwadratura Tanh-sinh jest zaimplementowana w integracji pakietu Haskella .
• Kwadratura Tanh-sinh jest zaimplementowana w bibliotece Pythona mpmath.

Notatki

• Bailey, David H, „ Kwadratura Tanh-Sinh o wysokiej precyzji ”. (2006).
• Molin, Pascal, Intégration numérique et calculs de fonctions L (w języku francuskim) , praca doktorska (2010).
• Bailey, David H, Karthik Jeyabalan i Xiaoye S. Li , „ Porównanie trzech precyzyjnych schematów kwadraturowych ”. Matematyka eksperymentalna , 14.3 (2005).
• Bailey, David H, Jonathan M. Borwein, David Broadhurst i Wadim Zudlin, Matematyka eksperymentalna i fizyka matematyczna , w Gems in Experimental Mathematics (2010), American Mathematical Society, s. 41–58.
•   Jonathan Borwein , David H. Bailey i Roland Girgensohn, Eksperymentowanie w matematyce — obliczeniowe ścieżki do odkryć . AK Peters, 2003. ISBN 1-56881-136-5 .
•   Mori, Masatake; Sugihara, Masaaki (15 stycznia 2001). „Podwójna wykładnicza transformacja w analizie numerycznej” . Journal of Computational and Applied Mathematics . 127 (1–2): 287–296. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00501-X . ISSN 0377-0427 .
•   Mori, Masatake (2005), „Odkrycie podwójnej transformacji wykładniczej i jej rozwoju”, Publikacje Instytutu Badawczego Nauk Matematycznych , 41 (4): 897–935, doi : 10.2977/prims/1145474600 , ISSN 0034-5318 . Ten dokument jest również dostępny tutaj .
•   Prasa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Sekcja 4.5. Kwadratura przez zmienną transformację” , Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (wyd. 3), Nowy Jork: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
•   Takahashi, Hidetoshi; Mori, Masatake (1974), „Double Exponential Formulas for Numerical Integration”, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences , 9 (3): 721–741, doi : 10.2977/prims/1195192451 , ISSN 0034-5318 . Ten dokument jest również dostępny tutaj .

Linki zewnętrzne

• Cook, John D, „ Podwójna integracja wykładnicza ” z kodem źródłowym .
• Dennes, Graeme, „ Numeryczna integracja z kwadraturą Tanh-Sinh ” Skoroszyt programu Microsoft Excel zawierający czternaście programów kwadraturowych, które demonstrują metody kwadraturowe Tanh-Sinh i inne metody kwadraturowe. Demonstruje zdumiewającą szybkość i dokładność metody Tanh-Sinh w szczególności i metod Double Exponential w ogóle. Programy kwadraturowe są wykonywane przy użyciu szerokiego, zróżnicowanego zakresu całek testowych z wynikami. Dostępny jest pełny otwarty kod źródłowy VBA i dokumentacja.
• van Engelen, Robert A, „ Improving the Double Exponential Quadrature Tanh-Sinh, Sinh-Sinh and Exp-Sinh Formulas ” porównuje implementacje Tanh-Sinh i wprowadza optymalizacje w celu poprawy szybkości i dokładności konwergencji Tanh-Sinh. Obejmuje metody Tanh-Sinh, Sinh-Sinh i Exp-Sinh z kodem źródłowym.