Kwadryptyk algebra geometryczna

$geometryczna ($ ) to geometryczne algebry . Ta $jest$ jako algebra $jest$ superalgebrą nad algebrą geometryczną ) i ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1,3}}$ algebry czasoprzestrzennej (STA), z których każda może być zdefiniowana w ramach podalgebr QGA.

CGA zapewnia reprezentacje elementów sferycznych (punkty, sfery, płaszczyzny i linie) oraz pełny zestaw operacji ( translacja , obrót , dylatacja i przecięcie ), które mają do nich zastosowanie. QGA rozszerza CGA, aby obejmowała również reprezentacje niektórych elementów niesferycznych: powierzchnie czworokątne wyrównane z głównymi osiami i wiele ich zdegenerowanych form, takich jak płaszczyzny, linie i punkty.

Ogólne powierzchnie kwadratowe charakteryzują się niejawnym równaniem wielomianowym stopnia 2

${\ Displaystyle Ax ^ {2} + przez ^ {2 }+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0.}$

które mogą charakteryzować kwadratowe powierzchnie znajdujące się w dowolnym punkcie środkowym i wyrównane wzdłuż dowolnych osi. Jednak QGA obejmuje jednostki wektorowe, które mogą reprezentować tylko główne powierzchnie kwadratowe wyrównane z osiami charakterystycznymi

${\ Displaystyle Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Gx + Hy + Iz+J=0.}$

To wciąż bardzo znaczący postęp w stosunku do CGA.

Możliwym problemem związanym z wydajnością przy korzystaniu z QGA jest zwiększona liczba obliczeń wymagana do użycia przestrzeni wektorowej 9D w porównaniu z mniejszą przestrzenią wektorową 5D CGA. Podprzestrzeń 5D CGA może być używana, gdy w obliczeniach biorą udział tylko jednostki CGA.

Ogólnie rzecz biorąc, operacja obracania nie działa poprawnie na niesferycznych jednostkach powierzchni czworokątnej QGA. Obrót również nie działa poprawnie na punktach QGA. Próba obrócenia kwadratowej powierzchni QGA może skutkować innym typem powierzchni kwadratowej lub powierzchnią kwadratową, która zostanie obrócona i zniekształcona w nieoczekiwany sposób. Próba obrócenia punktu QGA może dać wartość, która będzie wyglądać jak oczekiwany obrócony wektor, ale uzyskana wartość zasadniczo nie jest prawidłowym osadzeniem obróconego wektora. Nieprawidłowe obracanie punktów QGA prowadzi również do niemożności użycia morfizmów zewnętrznych aby obrócić podwójne byty Geometric Outer Product Null Space (GOPNS). Aby obrócić punkt QGA, musi on zostać zrzutowany na wektor lub przekonwertowany na punkt CGA dla operacji obrotu, a następnie obrócony wynik może zostać ponownie osadzony lub przekształcony z powrotem w punkt QGA. Powierzchnia kwadratowa obrócona o dowolny kąt nie może być reprezentowana przez żadną znaną jednostkę QGA. Reprezentacja ogólnych powierzchni kwadratowych z użytecznymi operacjami będzie wymagać algebry (która wydaje się być obecnie nieznana), która rozszerza QGA.

Chociaż rotacja jest ogólnie niedostępna w QGA, operacja transpozycji jest specjalną modyfikacją rotacji przez ${\ displaystyle \ pi / 2}$ , która działa poprawnie na wszystkich jednostkach QGA GIPNS. Transpozycje umożliwiają odzwierciedlenie jednostek QGA GIPNS w sześciu ukośnych płaszczyznach ${\ displaystyle y = \ pm x}$ , ${\ displaystyle z = \ pm x}$ i ${\ displaystyle z =\pm y}$ .

Jednostki dla wszystkich powierzchni czworokątnych wyrównanych z głównymi osiami można zdefiniować w QGA. Należą do nich elipsoidy , cylindry , stożki , paraboloidy i hiperboloidy we wszystkich ich różnych formach.

Potężną cechą QGA jest możliwość obliczania przecięć powierzchni czworokątnych ustawionych w osiach. Z nielicznymi wyjątkami, iloczyn zewnętrzny jednostek powierzchni QGA GIPNS reprezentuje ich przecięcia powierzchni. Ta metoda obliczania przecięć działa tak samo jak w CGA, gdzie dostępne są tylko elementy sferyczne.

Julio Zamora-Esquivel. „G6,3 algebra geometryczna; opis i implementacja”. Postępy w stosowanych algebrach Clifforda 24 (2014), 493-514. Springer Bazylea.