Kwaziwypukłość (rachunek wariacji)

Ten artykuł dotyczy uogólnienia wypukłości stosowanego w rachunku wariacyjnym. Informacje na temat niepowiązanego uogólnienia wypukłości stosowanego w teorii gier można znaleźć w artykule Funkcja Quasiconvex .

W rachunku wariacyjnym , poddziedzinie matematyki, quasi-wypukłość jest uogólnieniem pojęcia wypukłości. Służy do charakteryzowania całki funkcjonału i jest powiązany z istnieniem minimalizatorów. W pewnych warunkach naturalnych quasi-wypukłość całki jest warunkiem koniecznym i wystarczającym funkcjonału

$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}: W ^ {1 ,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})\rightarrow \mathbb {R} \qquad u\mapsto \int _{\Omega }f(x,u(x),\nabla u(x ))dx}$$

być $niższym$ półciągłym w topologii wystarczającej . Z argumentów zwartości ( twierdzenie Banacha – Alaoglu ) można wówczas z metody bezpośredniej wywnioskować istnienie minimalizatorów słabo niższych funkcjonałów półciągłych . Pojęcie to zostało wprowadzone przez Morreya w 1952 r. Tego uogólnienia nie należy mylić z tym samym pojęciem funkcji quasi-wypukłej , która ma tę samą nazwę.

Definicja

Lokalnie ograniczona funkcja mierzalna borelowo nazywa się quasi-wypukłą, jeśli fa $\textstyle f:\mathbb {R} ^{m\times d}\rightarrow \mathbb {R}}$

$${\ Displaystyle \ int _ {B (0,1)} {\ bigl (} f (A + \ nabla \psi (x)) -f(A){\bigr)}dx\geq 0}$$

dla wszystkich $R$ wszystkich ${\ Displaystyle \ psi \ in W_ {0} ^ {$ , gdzie B (0,1) jest kulą jednostkową i ${\ displaystyle W_ {0} ^ {1, \infty }}$ jest przestrzenią Sobolewa funkcji zasadniczo ograniczonych z zasadniczo ograniczoną pochodną i śladem zanikającym .

Własności funkcji quasi-wypukłych

• Domenę B (0,1) można zastąpić dowolną inną ograniczoną domeną Lipschitza .

• Funkcje quasi-wypukłe są lokalnie ciągłe Lipschitza.

• $.$ definicji przestrzeń zastąpić okresowymi

Stosunki z innymi pojęciami wypukłości

Quasiconvexity to uogólnienie wypukłości dla funkcji zdefiniowanych na $,$ aby ${\ Displaystyle V \ w L ^ {1} (B (0,1), \ mathbb {R} ^ {m})}$ z ${\ Displaystyle \ int _ {B (0,1)} V (x) dx = 0}$ . Twierdzenie o reprezentacji Riesza -Markowa-Kakutaniego stwierdza, że ​​podwójną przestrzeń można utożsamić z przestrzenią ${\ displaystyle C_ {0} (\ mathbb {R} ^ {m \ razy d})}$ podpisane, skończone miary Radona na nim. Definiujemy miarę $według$

$${\ Displaystyle \ langle h, \ mu \ rangle = {\ Frac {1} {|B (0,1) |}} \ int _ { B(0,1)}h(A+V(x))dx}$$

dla ${\ Displaystyle h \ in C_ {0} (\ mathbb {R} ^ {m \ razy d})$ } Można sprawdzić, że $jest miarą$ i podany jest jej środek ciężkości

$${\ Displaystyle [\ mu ] = \ langle \ operatorname {id}, \ mu \ rangle = A + \ int _ {B (0,1)} V (x) dx = A.}$$

Jeśli h jest funkcją wypukłą, to daje nierówność Jensena

$${\ Displaystyle h (A) = h ([\ mu]) \ równoważnik \ langle h, \ mu \ rangle = {\ Frac {1} {| B (0,1) |}} \ int _ {B (0 ,1)}h(A+V(x))dx.}$$

Dzieje się tak w szczególności, jeśli V ( x ) jest pochodną ${\ displaystyle \ psi \ in W_ {0} ^ {1, \ infty} ( B(0,1),\mathbb {R} ^{m\times d})}$ z uogólnionego twierdzenia Stokesa.

Wyznacznik $.$ przykładem funkcji quasi-wypukłej Aby zobaczyć, że wyznacznik nie jest wypukły, rozważmy

$${\ Displaystyle A = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 0 \\\ koniec {pmatrix}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad B = {\ początek {pmatrix} 0 i 0 \\ 0 i 1 \\\ koniec {pmatrix}}.}$$

Następnie posiada $\lambda \in (0,1)$$det A = \ det B =$ but for we have ${\ Displaystyle \ det (\ lambda A + (1- \ lambda) B) = \ lambda (1- \ lambda)> 0 = \ max (\ det A, \ det B)}$ . To pokazuje, że wyznacznik nie jest funkcją quasi-wypukłą jak w teorii gier , a zatem odrębnym pojęciem wypukłości.

W wektorowym przypadku rachunku wariacyjnego istnieją inne pojęcia wypukłości. Dla funkcji $\ mathbb {R}}$ rightarrow

$${\ Displaystyle f {\ tekst {wypukły}} \ Strzałka w prawo f {\ tekst {wielowypukła}} \ Strzałka w prawo f {\ tekst {quasiconvex}} \ Strzałka w prawo f {\ tekst {rank-1-wypukły}}.}$$

Wszystkie $_$$,$ jeśli _ Już w 1952 roku Morrey przypuszczał, że wypukłość pierwszego stopnia nie implikuje quasi-wypukłości. $m \ geq 3}$ główny nierozwiązany problem rachunku wariacyjnego, dopóki Šverák nie podał kontrprzykładu w 1993 r. dla przypadku i m $\$ . Sprawa ${\ displaystyle d = 2}$ lub $otwartym$ problemem, znanym jako hipoteza Morreya

Związek ze słabą dolną półciągłością

W pewnych warunkach wzrostu całki sekwencyjna słabo dolna półciągłość (swlsc) całki funkcjonału w odpowiedniej przestrzeni Sobolewa jest równoważna quasi-wypukłości całki. Acerbi i Fusco udowodnili następujące twierdzenie:

Twierdzenie: Jeśli ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ razy \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{d\times m}\rightarrow \mathbb {R} ,(x,v,A)\mapsto f(x,v,A)}$ jest funkcję Carathéodory’ego i spełnia ona ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik f (x, v, A) \ równoważnik a (x) + C (| v |^{p}+|A|^{p})}$ . Następnie funkcjonalność

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} [u] = \ int _ {\ Omega} f (x, u (x),\nabla u(x))dx}$$

$swlsc$ w przestrzeni Sobolewa $1}$$, \ mathbb {R} ^ {m})}$ { 1, p} (\ wtedy i tylko wtedy, gdy $quasiwypukły$ . Tutaj $jest$ dodatnią $_$ _

Inni autorzy stosują różne warunki wzrostu i różne warunki dowodu. Pierwszy dowód na to dostarczył Morrey w swoim artykule, wymagał on jednak dodatkowych założeń.