Lemat Gordana

Lemat Gordana jest lematem z geometrii wypukłej i geometrii algebraicznej . Można to stwierdzić na kilka sposobów.

• Niech będzie $liczb$ całkowitych. Niech $będzie$ zbiorem nieujemnych rozwiązań całkowitych $\ Displaystyle A \ cdot x = 0}$ . Wtedy istnieje skończony podzbiór wektorów w $,$$jest$ że każdy element liniową kombinacją tych wektorów z nieujemnymi współczynnikami całkowitymi
• Półgrupa punktów integralnych w wymiernym wypukłym stożku wielościennym jest generowana w sposób skończony .
• Afiniczna rozmaitość toryczna jest rozmaitością algebraiczną (wynika to z faktu, że widmo pierwsze algebry półgrup takiej półgrupy jest z definicji rozmaitością afiniczną toryczną ).

Lemat nosi imię matematyka Paula Gordana (1837–1912). Niektórzy autorzy błędnie zapisali to jako „lemat Gordona”.

Dowody

Istnieją dowody topologiczne i algebraiczne.

Dowód topologiczny

Niech $będzie podwójnym$ danego wymiernego stożka wielościennego . Niech ${\ Displaystyle u_ {1}, \ kropki, u_ {r}}$ będą wektorami całkowitymi, tak że ${\ Displaystyle \ sigma = \ {x \ mid \ langle u_ {i}, x \ rangle \ geq 0,1 \ równoważnik i \ równoważnik r \}.}$ Następnie generuje podwójny stożek $}$$\ Displaystyle u_ {i$ ; rzeczywiście, pisząc C dla stożka generowanego przez ${\ Displaystyle \ sigma \ podzbiór C ^ {\ vee}}$ s, mamy: $σ$ musi być równością. Teraz, jeśli x jest w półgrupie

${\ Displaystyle S _ {\ sigma} = \ sigma ^ {\ vee} \ czapka \ mathbb {Z} ^ {d},}$

wtedy można to zapisać jako

${\ Displaystyle x = \ suma _ {i} n_ {i} u_ {i} + \ suma _ {i} r_ {i} u_ {i} ,}$

gdzie ${\ Displaystyle n_ {i}}$ są nieujemnymi liczbami całkowitymi i ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik r_ {i} \ równoważnik 1}$ . Ale ponieważ x i pierwsza suma po prawej stronie są całkowite, druga suma jest punktem sieci w ograniczonym obszarze, więc istnieje tylko skończenie wiele możliwości dla drugiej sumy (przyczyna topologiczna). Stąd generowany jest w sposób skończony ${\ displaystyle S _ {\ sigma}} .$

Dowód algebraiczny

$[S]}$ na fakcie, że półgrupa S jest generowana skończenie wtedy i tylko wtedy, gdy jej algebra półgrupowa skończenie generowaną algebrą nad do ${\ displaystyle \ mathbb {$$C} }$ . Aby udowodnić lemat Gordana przez indukcję (por . Dowód powyżej), wystarczy udowodnić następujące stwierdzenie: dla dowolnej podgrupy jednostkowej S z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$

Jeśli S jest generowany w sposób skończony, to ${\ Displaystyle S ^ {+} = S \ cap \ {x \ mid \ langle x, v \ rangle \ geq 0 \ }}$ , v wektor całkowy, jest generowany w sposób skończony.

Umieść ${\ Displaystyle A = \ mathbb {C} [S]} ,$ ma podstawę ${\ Displaystyle \ chi ^ {a}, \, a \ in S}$ . Ma ocenę nadaną przez ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle A_ {n} = \ operatorname {rozpiętość} \ {\ chi ^ {a} \ mid a \ w S, \ kąt a,v\rangle =n\}}$ .

Z założenia A jest generowane w sposób skończony, a zatem jest noetherowskie. Z poniższego lematu algebraicznego wynika, że ​​do $\ mathbb {C} [S ^ {+}] = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} A_ {n}}$ jest skończenie generowaną algebrą nad ${\ displaystyle A_ {0}}$ . Teraz półgrupa ${\ Displaystyle S_ {0} = S \ cap \ {x \ mid \ langle x, v \ rangle = 0 \}}$ to obraz S w rzucie liniowym, a więc generowany w sposób skończony, a więc ${ \displaystyle A_{0}=\mathbb {C} [S_{0}]}$ jest generowany w sposób skończony. Stąd generowany jest wtedy ${\ displaystyle S ^ {+}} .$

Lemat : Niech $pierścieniem$ będzie stopniowanym . Jeśli A jest pierścieniem noetherowskim, to jest skończenie generowany $ZA$${n}}$$0}}$ -algebra.

Dowód: Niech I będzie ideałem A wygenerowanym przez wszystkie jednorodne elementy A stopnia dodatniego. Ponieważ A jest noetherowskie, I jest w rzeczywistości generowane przez skończenie wiele jednorodnych dodatniego stopnia ${\ displaystyle f_ {i}}$ Jeśli f jest jednorodne stopnia dodatniego, to możemy napisać ${\ textstyle f = \ suma _ {i} g_ {i} f_ {i}}$ z ${\ displaystyle g_ {i}}$ jednorodny. Jeśli f ma wystarczająco duży stopień, to każdy $.$ mniejszy niż stopień f Ponadto każdy stopień jest skończenie generowanym modułem $\ displaystyle A_ {0}$$}$ . (Dowód: ${$ rosnącym łańcuchem skończenie generowanych podmodułów $\ displaystyle A_ {n}}$ ze związkiem ${\ Displaystyle A_ {n}}$ . $Wtedy$ ideałów się w skończonych krokach podobnie łańcuch ${\ Displaystyle N_ {i} = N_ {i} A \ cap A_ {n}.} )$ Tak więc przez indukcję stopnia widzimy, że ${\ Displaystyle A ^ {+}}$ jest skończoną generacją ${\ displaystyle A_{0}}$ -algebra.

Aplikacje

Multi - hipergraf na pewnym zbiorze $to$ multizbiór podzbiorów ( nazywa się to „multi-hipergrafem”, ponieważ każda hipergraf może pojawić się więcej niż jeden $raz$ Wielohipergraf nazywamy regularnym , jeśli wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień . Nazywa się to rozkładalnym , jeśli ma odpowiedni niepusty podzbiór, który jest również regularny. Dla dowolnej liczby całkowitej n , niech ${\ Displaystyle D (n)}$ będzie maksymalnym stopniem nierozkładalnego multihipergrafu na n wierzchołkach. Lemat Gordana implikuje, że ${\ displaystyle D (n)}$ jest skończony. Dowód : dla każdego podzbioru S wierzchołków zdefiniuj zmienną x _S (nieujemną liczbę całkowitą). Zdefiniuj inną zmienną d (nieujemną liczbę całkowitą). Rozważmy następujący zestaw n równań (jedno równanie na wierzchołek):

$${\ Displaystyle \ suma _ {S \ ni v} x_ {S} -d = 0 {\ tekst {dla wszystkich}} v \ w V}$$

$Każde$ rozwiązanie ( x , d ) oznacza regularny multihipergraf na gdzie x określa hiperkrawędzie, a d to stopień. Zgodnie z lematem Gordana zbiór rozwiązań jest generowany przez skończony zbiór rozwiązań, tj. istnieje skończony zbiór multihipergrafów, taki że każdy regularny multihipergraf jest liniową kombinacją niektórych elementów ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$ . Każdy nierozkładalny multihipergraf musi być w ${\ displaystyle M}$ (ponieważ z definicji nie może być generowany przez inny multi-hipergraf). Stąd zbiór nierozkładalnych multihipergrafów jest skończony.

Zobacz też

• Algorytm Birkhoffa to algorytm, który mając daną macierz bistochastyczną (macierz rozwiązującą określony zestaw równań), znajduje jej rozkład na macierze całkowe. Jest to związane z lematem Gordana, ponieważ pokazuje, że zbiór tych macierzy jest generowany przez skończony zbiór macierzy całkowych.

Zobacz też

• Lemat Dicksona