Lemat Hotellinga

Lemat Hotellinga jest wynikiem mikroekonomii , który wiąże podaż dobra z maksymalnym zyskiem producenta. Po raz pierwszy została ona pokazana przez Harolda Hotellinga i jest szeroko stosowana w teorii firmy .

W szczególności stwierdza: Stopa wzrostu maksymalnych zysków w stosunku do wzrostu ceny jest równa podaży netto dobra. Innymi słowy, jeśli firma dokonuje wyborów w celu maksymalizacji zysków, wybory te można odzyskać ze znajomości funkcji maksymalnego zysku.

Oświadczenie formalne

Niech ${\ displaystyle p}$ oznacza zmienną cenę i będzie $.$ kosztem każdego wkładu Niech ${\ Displaystyle x: {\ mathbb {R} ^ {+}} \ rightarrow X}$ będzie odwzorowaniem ceny na zbiór możliwych do wyboru danych wejściowych ${\ Displaystyle X \ podzbiór {\mathbb {R} ^{+}}}$ . Niech ${\ Displaystyle f: {\ mathbb {R} ^ {+}} \ rightarrow {\ mathbb {R} ^ {+}}} będzie funkcją$ produkcji i y $\ displaystyle y(p)\triangleq f(x(p))}$ będzie podażą netto.

Maksymalny zysk można zapisać przez

{\ Displaystyle \ pi (p) = \ max _ {x} p \ cdot y (p) -w \ cdot x (p).}

Następnie lemat stwierdza, że jeśli zysk $\ pi}$ różniczkowalny w ${\ displaystyle$ , maksymalizacja podaży netto jest dana wzorem π

{\ Displaystyle y ^ {*} (p) = {\ Frac {d \ pi (p)} {dp}}.}

Dowód lematu Hotellinga

Lemat jest następstwem twierdzenia o obwiedni .

W szczególności maksymalny zysk można przepisać jako ${\ Displaystyle \ pi (p, x ^ {*}) = p \ cdot f (x ^ {*} (p)) -w \ cdot x ^ {*} (p)} gdzie$ x $\ Displaystyle x ^ {*}}$ jest maksymalizującym wejściem odpowiadającym ${\ Displaystyle y^{*}}$ . Ze względu na optymalność daje warunek pierwszego rzędu

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ pi} {\ częściowe x}} {\ bigg |} _ {x = x ^ {*}} = 0.}

()

Biorąc pochodną przez ${\ displaystyle p}$ w $}$ }

{\ Displaystyle {\ Frac {d \ pi} {dp}} = {\ Frac {\ częściowy \ pi} {\ częściowy x}} {\ bigg |} _ {x = x ^ {*}} {\ frac { \partial x}{\częściowe p}}+{\frac {\częściowe \pi }{\częściowe p}}={\frac {\częściowe \pi }{\częściowe p}}=f(x^{*} (p))=y^{*}(p)}

gdzie druga równość wynika z ( 1 ). CO BYŁO DO OKAZANIA

Zastosowanie lematu Hotellinga

Rozważ następujący przykład. Niech wyjście ${\ displaystyle$ cenę $}$ $x_ {2}}$ , a wejścia i x $\ displaystyle$ mają ceny $displaystyle w_ {1} }$ i ${\ displaystyle w_ {2}}$ . Załóżmy, że funkcja produkcji to ${\ Displaystyle y = x_ {1} ^ {1/3} x_ {2} ^ {1/3}}$ . Niezmaksymalizowana funkcja zysku to ${\ Displaystyle \ pi (p, w_ {1}, w_ {2} },x_{1},x_{2})=py-w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}}$ . Z tego można wyprowadzić wybory nakładów maksymalizujące zysk i funkcję maksymalizacji zysku, funkcję tylko cen nakładów i produkcji, która jest

${\ Displaystyle \ pi (p, w_ {1}, w_ {2}) = {\ Frac {1} {27}} {\ frac {p^{3}}{w_{1}w_{2}}}}$

Lemat Hotellinga mówi, że z funkcji maksymalnego zysku możemy znaleźć maksymalizujące zysk wybory produkcji i wkładu, biorąc pochodne cząstkowe:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ pi (p, w_ {1}, w_ {2})} \partial p}}=y={\frac {1}{9}}{\frac {p^{2}}{w_{1}w_{2}}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ pi (p, w_ {1}, w_ { 2})}{\częściowa w_{1}}}=-x_{1}=-{\frac {1}{27}}{\frac {p^{3}}{w_{1}^{2} w_{2}}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ pi (p, w_ {1}, w_ { 2})}{\częściowe w_{2}}}=-x_{2}=-{\frac {1}{27}}{\frac {p^{3}}{w_{1}w_{2} ^{2}}}}$

Należy zauważyć, że lemat Hotellinga podaje podaż netto , która jest dodatnia dla produkcji i ujemna dla nakładów, ponieważ zysk rośnie wraz z cenami produkcji i spada wraz z cenami nakładów.

Krytyka i dowody empiryczne

W odniesieniu do użycia i zastosowania lematu Hotellinga w pracy empirycznej sformułowano szereg krytyki.

C. Robert Taylor zwraca uwagę, że trafność lematu Hotellinga zależy od firmy maksymalizującej zyski, co oznacza, że produkuje ona maksymalizację zysku $^ {*}}$ $\$ { . Jeśli firma nie produkuje przy tych optymalnych wartościach, to lemat Hotellinga nie byłby spełniony.

Zobacz też

Hotelling, H. (1932). „Paradoks podatkowy Edgewortha i charakter funkcji popytu i podaży”. Dziennik ekonomii politycznej . 40 (5): 577–616. doi : 10.1086/254387 . JSTOR 1822600 .
Sakai, Y. (1974). „Efekty substytucji i ekspansji w teorii produkcji: przypadek wspólnej produkcji”. Dziennik teorii ekonomii . 9 (3): 255–274. doi : 10.1016/0022-0531(74)90051-9 .
Takayama, A. (1985). Ekonomia matematyczna . Nowy Jork: Cambridge University Press. s. 141–144. ISBN 978-0-521-31498-5 .
Wariant, H. (1992). Analiza mikroekonomiczna (wyd. 3). Nowy Jork: WW Norton. s. 43–45 . ISBN 978-0-393-95735-8 .