Lemat Kelly'ego

W teorii prawdopodobieństwa lemat Kelly'ego stwierdza , że ​​​​dla stacjonarnego łańcucha Markowa w czasie ciągłym proces zdefiniowany jako proces odwrócony w czasie ma taki sam rozkład stacjonarny jak proces w czasie do przodu. Twierdzenie nosi imię Franka Kelly'ego .

Oświadczenie

Dla czasu ciągłego łańcuch Markowa z przestrzenią stanów S i macierzą szybkości przejść Q (z elementami q _ij ) jeśli znajdziemy zbiór liczb q' _ij oraz π _i sumujących się do 1 gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {j \ neq i} \ pi _ {i} q'_ {ij} & = \ suma _ {j \ neq i} q_ {ij} \ quad \ forall ja \in S\\\pi _{i}q_{ij}&=\pi _{j}q_{ji}'\quad \forall i,j\in S\end{aligned}}}$

wtedy q' _ij to współczynniki dla procesu odwróconego, a π _i to rozkład stacjonarny dla obu procesów.

Dowód

Biorąc pod uwagę założenia przyjęte dla q _ij oraz π _i, widzimy

$\ Displaystyle \ suma _ {i \ neq j} \ pi _{i}q_{ij}=\sum _{i\neq j}\pi _{j}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\neq j}q_{ji }=-\pi _{j}q_{jj}}$

więc równania bilansu globalnego są spełnione, a π _i jest rozkładem stacjonarnym dla obu procesów.