Równanie równowagi

Ten artykuł dotyczy równań bilansowych w teorii prawdopodobieństwa. Aby zapoznać się z koncepcją zrównoważonych równań w chemii, zobacz równanie chemiczne .

W teorii prawdopodobieństwa równanie równowagi jest równaniem opisującym strumień prawdopodobieństwa związany z łańcuchem Markowa wchodzącym i wychodzącym ze stanów lub zestawu stanów.

Globalna równowaga

Równania równowagi globalnej (znane również jako równania pełnej równowagi ) to zestaw równań charakteryzujących rozkład równowagi (lub dowolny rozkład stacjonarny) łańcucha Markowa, jeśli taki rozkład istnieje.

Przez ciągły łańcuch Markowa ${\ mathcal {S}}} }}$ przestrzenią stanów $dana$ szybkość przejścia ze stanu jot $Displaystyle j}$$\$ przez i rozkład równowagi podany przez , równania równowagi globalnej są podane przez ${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ pi _ {i} = \ suma _ {j \ w S} \ pi _ {j} q_ {ji},}$

lub równoważnie

${\ Displaystyle \ pi _ {i} \ suma _ {j \ w S \ setminus \ {i \}} q_ {ij} = \ suma _ {j \ w S \ setminus \ {i \}} \ pi _ { j}q_{ji}.}$

dla wszystkich ${\ Displaystyle i \ w S}$ . Tutaj ${ij}} reprezentuje$$q_$ prawdopodobieństwa ze do $stanu$ . Tak więc lewa strona reprezentuje całkowity przepływ ze stanu i do stanów innych niż i , podczas gdy prawa strona reprezentuje całkowity przepływ ze wszystkich stanów ${\ Displaystyle j \ neq i}$ w stan ${\ displaystyle i}$ . Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązanie tego układu równań dla większości modeli w kolejce jest trudne obliczeniowo.

Szczegółowy bilans

Zobacz też: Szczegółowy bilans

Dla ciągłego łańcucha Markowa (CTMC) z macierzą szybkości przejścia , jeśli $można$ znaleźć takie, że dla każdej pary stanów ${\ displaystyle$$\ pi _ {i$ } ${\ displaystyle j}$

${\ Displaystyle \ pi _ {i} q_ {ij} = \ pi _ {j} q_ {ji}}$

$to$ sumując po $jest$ równania równowagi globalnej są spełnione i stacjonarnym rozkładem procesu. Jeśli takie rozwiązanie można znaleźć, otrzymane równania są zwykle znacznie łatwiejsze niż bezpośrednie rozwiązanie równań równowagi globalnej.

jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy szczegółowe warunki równowagi są spełnione dla każdej pary stanów ${$$\ displaystyle j}$ .

$, że$ łańcuch Markowa w czasie dyskretnym (DTMC) z macierzą przejść $i jot$ równowagi jest w szczegółowej równowadze, jeśli dla wszystkich par $}$ \ $displaystyle$ ,

${\ Displaystyle \ pi _ {i} p_ {ij} = \ pi _ {j} p_ {ji}.}$

Kiedy można znaleźć rozwiązanie, jak w przypadku CTMC, obliczenia są zwykle znacznie szybsze niż bezpośrednie rozwiązywanie równań równowagi globalnej.

Saldo lokalne

W niektórych sytuacjach warunki po obu stronach równań równowagi globalnej znoszą się. Równania bilansu globalnego można następnie podzielić, aby uzyskać zestaw równań bilansu lokalnego (znany również jako równania bilansu częściowego , niezależne równania bilansu lub indywidualne równania bilansu ). Te równania równowagi zostały po raz pierwszy rozważone przez Petera Whittle'a . Otrzymane równania znajdują się gdzieś pomiędzy szczegółowym bilansem a globalnym równaniem bilansu. Każde rozwiązanie ${\ displaystyle \ pi}$ do równań bilansu lokalnego jest zawsze rozwiązaniem równań bilansu globalnego (możemy odzyskać równania bilansu globalnego przez zsumowanie odpowiednich równań bilansu lokalnego), ale sytuacja odwrotna nie zawsze jest prawdziwa. Często konstruowanie równań bilansu lokalnego jest równoznaczne z usuwaniem zewnętrznych sumowań w równaniach bilansu globalnego dla pewnych terminów.

W latach 80. uważano, że równowaga lokalna jest warunkiem rozkładu równowagi w postaci produktu , ale model sieci G Gelenbe pokazał, że tak nie jest.