Odbity ruch Browna

W teorii prawdopodobieństwa odbity ruch Browna (lub regulowany ruch Browna , oba z akronimem RBM ) jest procesem Wienera w przestrzeni z odbijającymi granicami. W fizycznej proces ten opisuje dyfuzję w ograniczonej przestrzeni i jest często nazywany ograniczonym ruchem Browna. Na przykład może opisywać ruch twardych kulek w wodzie zamkniętej między dwiema ścianami.

Wykazano, że RBM opisują modele kolejek , w których występuje duży ruch , jak po raz pierwszy zaproponowali Kingman i udowodnili Iglehart i Whitt .

Definicja

D - wymiarowy odbity ruch Browna Z jest procesem stochastycznym na jednoznacznie zdefiniowanym przez ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$

• a d – wymiarowy wektor dryfu μ
• a d × d nieosobliwa macierz kowariancji Σ i
• a d × d macierz odbicia R .

gdzie X ( t ) jest swobodnym ruchem Browna i

${\ Displaystyle Z (t) = X (t) + RY (t)}$

gdzie Y ( t ) a d – wektor wymiarowy gdzie

• Y jest ciągłe i nie malejące przy Y (0) = 0
• Y _j wzrasta tylko w momentach, dla których Z _j = 0 dla j = 1,2,..., d
• Z ( t ) ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$ , t ≥ 0.

Macierz odbicia opisuje zachowanie granicy. We wnętrzu $;$ zachowuje się Wienera na granicy „z grubsza mówiąc, Z jest popychany w kierunku R ^j , ilekroć powierzchnia graniczna ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ {z \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ { d}:z_{j}=0\}}$ zostaje trafione, gdzie R ^j jest j- tą kolumną macierzy R. "

Warunki stabilności

Warunki stabilności są znane dla KMS w 1, 2 i 3 wymiarach. „Problem klasyfikacji nawrotów SRBM w czterech i wyższych wymiarach pozostaje otwarty”. W szczególnym przypadku, gdy R jest macierzą M , wówczas warunki konieczne i wystarczające dla stabilności są spełnione

1. R jest macierzą inną niż pojedyncza i
2. R ^-1 μ < 0.

Rozkład krańcowy i stacjonarny

Jeden wymiar

Rozkład krańcowy (rozkład przejściowy) jednowymiarowego ruchu Browna zaczynającego się od 0 ograniczonego do wartości dodatnich (pojedyncza bariera odbijająca w 0) z dryfem μ i wariancją σ ² to

$e ^{2\mu z/\sigma ^{2}}\Phi \left({\frac {-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)}$

dla wszystkich t ≥ 0, (gdzie Φ jest dystrybucją skumulowaną rozkładu normalnego ), co daje (dla μ < 0) przy przyjęciu t → ∞ rozkład wykładniczy

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (Z <z) = 1-e ^ {2 \ mu z / \ sigma ^ {2}}.}$

Dla ustalonego t rozkład Z(t) pokrywa się z rozkładem bieżącego maksimum M(t) ruchu Browna,

${\ Displaystyle Z (t) \ sim M (t) = \ sup _ {s \ w [0, t]} X (s).}$

Należy jednak pamiętać, że rozkłady procesów jako całości są bardzo różne. W szczególności M(t) rośnie w t , co nie ma miejsca w przypadku Z(t) .

Jądro ciepła dla odbitego ruchu Browna w: ${\ displaystyle p_ {b}$ }

${\ Displaystyle f (x, p_ {b}) = {\ Frac {e ^ {- ((xu) / a) ^ {2}/2} + e ^ {- ((x + u-2p_ {b} )/a)^{2}/2}}{a(2\pi )^{1/2}}}}$

Dla płaszczyzny powyżej ${\ Displaystyle x \ geq p_ {b}}$

Wiele wymiarów

Stacjonarny rozkład odbitego ruchu Browna w wielu wymiarach jest analizowalny, gdy istnieje iloczyn z rozkładu stacjonarnego , który występuje, gdy proces jest stabilny i

${\ Displaystyle 2 \ Sigma = RD + DR '}$

gdzie re = diag ( Σ ). W tym przypadku funkcja gęstości prawdopodobieństwa to

${\ Displaystyle p (z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {d}) =\prod _{k=1}^{d}\eta _{k}e^{-\eta _{k}z_{k}}}$

gdzie η _k = 2 μ _k γ _k / Σ _kk i γ = R ^-1 μ . Wyrażenia w formie zamkniętej dla sytuacji, w których warunek formularza produktu nie jest spełniony, można obliczyć numerycznie, jak opisano poniżej w sekcji dotyczącej symulacji.

Symulacja

Jeden wymiar

W jednym wymiarze symulowany proces jest wartością bezwzględną procesu Wienera . Poniższy MATLAB tworzy przykładową ścieżkę.

    0 
     
 %rbm.m  n  =  10  ^  4  ;  h  =  10  ^  (  -  3  );  t  =  godz  .*  (  :  n  );  mu  =  -  1  ;  X  =  zera  (  1  ,  n  +  1  );  M  =  X  ;  B  =  X  ;  B  (  1  ) =  3  ;  
 
           
            
        X  (  1  )=  3  ;  dla  k  =  2  :  n  +  1  Y  =  sqrt  (  h  )  *  rann  ;  U  =  Rand  (  1  );  b  (  k  )  =  b  (  k  -  1  )  +  mi  *  h  -  Y  ;  M  =  (  Y  +            
             

  
 sqrt  (  Y  ^  2  -  2  *  h  *  log  (  U  )))  /  2  ;  X  (  k  )  =  max  (  M  -  Y  ,  X  (  k  -  1  )  +  h  *  mu  -  Y  );  koniec  wątku podrzędnego  (  2  ,  1  ,  1  )  działka  (   
  
   t  ,  X  ,  'k-'  );  podplot  (  2  ,  1  ,  2  )  wykres  (  t  ,  X  -  B  ,  'k-'  ); 

Błąd występujący w symulacjach dyskretnych został skwantyfikowany.

Wiele wymiarów

QNET umożliwia symulację RBM w stanie ustalonym.

Inne warunki brzegowe

Feller opisał możliwe warunki brzegowe procesu

• absorpcja lub zabity ruch Browna, warunek brzegowy Dirichleta
• natychmiastowe odbicie, jak opisano powyżej, warunek brzegowy Neumanna
• sprężyste odbicie, warunek brzegowy Robina
• refleksja opóźniona (czas spędzony na granicy jest dodatni z prawdopodobieństwem jeden)
• częściowe odbicie, w którym proces jest natychmiast odbijany lub absorbowany
• lepkie ruchy Browna.

Zobacz też

• Problem Skorochoda