Quasiodwracalność

W teorii kolejek , dyscyplinie w ramach matematycznej teorii prawdopodobieństwa , quasiodwracalność (czasami QR ) jest właściwością niektórych kolejek. Koncepcja ta została po raz pierwszy zidentyfikowana przez Richarda R. Muntza i rozwinięta przez Franka Kelly'ego . Quasiodwracalność różni się od odwracalności tym, że silniejszy warunek jest nakładany na wskaźniki przybycia, a słabszy warunek na strumienie prawdopodobieństwa. Na przykład kolejka M/M/1 z szybkością przybycia zależnymi od stanu i czasem obsługi zależnym od stanu jest odwracalna, ale nie quasi-odwracalna.

Sieć kolejek, w której każda pojedyncza kolejka rozpatrywana w izolacji jest quasi-odwracalna, zawsze ma iloczyn z rozkładu stacjonarnego. Przypuszczano, że quasiodwracalność jest warunkiem koniecznym rozwiązania postaci produktu w sieci kolejkowej, ale wykazano, że tak nie jest. Chao i in. wykazywał sieć postaci produktu, w której quasiodwracalność nie była spełniona.

Definicja

Kolejka o rozkładzie stacjonarnym jest quasiodwracalna , jeśli jej stan w czasie t , x (t) ${\ displaystyle \ pi}$ niezależny od π

• czasy przybycia dla każdej klasy klientów następujące po czasie t ,
• godziny odjazdu dla każdej klasy klienta przed czasem t

dla wszystkich kategorii klientów.

Formuła częściowej równowagi

Quasiodwracalność jest równoznaczna z określoną formą częściowej równowagi . Najpierw zdefiniuj stopy odwrócone q'( x , x' ) wg

${\ Displaystyle \ pi (\ mathbf {x}) q '(\ mathbf {x} \ mathbf {x} '} )=\pi (\mathbf {x'} )q(\mathbf {x'} ,\mathbf {x} )}$

następnie biorąc pod uwagę tylko klientów określonej klasy, procesy przybycia i odejścia są tym samym procesem Poissona (z parametrem ), więc ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ alfa = \ suma _ {\ mathbf {x '} \ w M_ { \mathbf {x} }}q(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\suma _{\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}q'(\mathbf { x} ,\mathbf {x'} )}$

gdzie M _x $, że$ zbiorem takim, że ' reprezentuje pojedyncze określonej klasy klienta do określenia x .

Przykłady

• Twierdzenie Burke'a pokazuje, że system kolejek M/M/m jest quasi-odwracalny.
• Kelly wykazał, że każda stacja sieci BCMP jest quasi-odwracalna, gdy jest rozpatrywana w izolacji.
• Kolejki G w sieciach G są quasiodwracalne.

Zobacz też

• Odwracalność czasu