Twierdzenie Burke'a

W teorii kolejek , dyscyplinie należącej do matematycznej teorii prawdopodobieństwa , twierdzenie Burke'a (czasami twierdzenie Burke'a o wyjściu ) jest twierdzeniem (stwierdzonym i zademonstrowanym przez Paula J. Burke'a podczas pracy w Bell Telephone Laboratories ) stwierdzającym, że dla M / M / 1 kolejka , kolejka M/M/c lub kolejka M/M/∞ w stanie ustalonym z przylotami to proces Poissona z parametrem szybkości λ:

1. Proces odejścia jest procesem Poissona z parametrem szybkości λ.
2. W chwili t liczba klientów w kolejce jest niezależna od procesu wyjazdu przed czasem t .

Dowód

Burke po raz pierwszy opublikował to twierdzenie wraz z dowodem w 1956 r. Twierdzenie było przewidywane, ale nie udowodnione przez O'Briena (1954) i Morse'a (1955). Drugi dowód twierdzenia wynika z bardziej ogólnego wyniku opublikowanego przez Reicha. Dowód zaproponowany przez Burke'a pokazuje, że odstępy czasowe pomiędzy kolejnymi odlotami mają rozkład niezależny i wykładniczy z parametrem równym parametrowi szybkości przylotów, z którego wynika wynik.

Śledź z podświetlonymi momentami odlotu/przybycia w procesie przesuwania czasu do przodu/do tyłu.

Alternatywny dowód jest możliwy, biorąc pod uwagę odwrócony proces i zauważając, że kolejka M/M/1 jest odwracalnym procesem stochastycznym. Rozważ postać. Zgodnie z odwracalności Kołmogorowa każdy proces narodzin i śmierci jest odwracalnym łańcuchem Markowa . Zauważ, że momenty przybycia w przednim łańcuchu Markowa są momentami odejścia odwróconego łańcucha Markowa. Zatem proces odlotu jest procesem Poissona o szybkości λ. Co więcej, w procesie przekazywania przybycie w czasie t jest niezależne od liczby klientów po t. Zatem w odwróconym procesie liczba klientów w kolejce jest niezależna od procesu odjazdu przed czasem t .

Ten dowód może być sprzeczny z intuicją w tym sensie, że proces wyjścia z procesu narodzin i śmierci jest niezależny od oferowanej usługi.

Powiązane wyniki i rozszerzenia

Twierdzenie można uogólnić dla „tylko kilku przypadków”, ale pozostaje ważne dla kolejek M/M/c i kolejek Geom/Geom/1.

Uważa się, że twierdzenie Burke'a nie rozciąga się na kolejki zasilane przez procesy przybycia Markowa (MAP) i przypuszcza się, że proces wyjściowy kolejki MAP/M/1 jest MAP tylko wtedy, gdy kolejka jest kolejką M/M/1 .

Analogiczne twierdzenie dla kolejki Browna udowodnił J. Michael Harrison .