Twierdzenie o przybyciu

W teorii kolejek , dyscyplinie należącej do matematycznej teorii prawdopodobieństwa , twierdzenie o przybyciu (nazywane również właściwością losowego obserwatora , ROP lub właściwością obserwatora pracy ) stwierdza, że ​​„po przybyciu na stację praca obserwuje system tak, jakby był w stałym stan w dowolnej chwili dla systemu bez tego zadania”.

Twierdzenie o przybyciu zawsze obowiązuje w otwartych sieciach produktowych z nieograniczonymi kolejkami w każdym węźle, ale obowiązuje również w bardziej ogólnych sieciach. Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby twierdzenie o przybyciu było spełnione w sieciach iloczynowych, jest dane w kategoriach prawdopodobieństw Palma w Boucherie i Dijk, 1997. Podobny wynik zachodzi również w niektórych sieciach zamkniętych. Przykłady sieci w postaci produktu, w których twierdzenie o przybyciu nie jest spełnione, obejmują odwracalne sieci Kingmana i sieci z protokołem opóźnienia.

Mitrani daje intuicję, że „stan węzła i widziany przez przychodzące zadanie ma inny rozkład niż stan widziany przez przypadkowego obserwatora. Na przykład zadanie przychodzące nigdy nie widzi wszystkich k zadań obecnych w węźle i , ponieważ sama w sobie nie może należeć do już istniejących zawodów”.

Twierdzenie o przybyciach regulowanych procesem Poissona

W przypadku procesów Poissona właściwość jest często określana jako właściwość PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) i stwierdza, że ​​prawdopodobieństwo stanu widzianego przez przypadkowego obserwatora z zewnątrz jest takie samo, jak prawdopodobieństwo stanu widzianego przez przybywającego klienta. Właściwość obowiązuje również w przypadku podwójnie stochastycznego procesu Poissona , w którym parametr szybkości może zmieniać się w zależności od stanu.

Twierdzenie dla sieci Jacksona

W otwartej sieci Jacksona z m kolejek napisz ${\textstyle \mathbf {n} =(n_{1},n_{2},\ldots,n_{m })}$ dla stanu sieci. Załóżmy, $że$$że$ sieć . Wtedy prawdopodobieństwo, że sieć jest w stanie $π$ przed przybyciem do dowolnego węzła, również wynosi $\ textstyle \ pi (\ mathbf {n})}$ .

Należy zauważyć, że twierdzenie to nie wynika z twierdzenia Jacksona , gdzie rozważany jest stan ustalony w czasie ciągłym. Tutaj mamy do czynienia z określonymi punktami w czasie, a mianowicie czasem przybycia. Twierdzenie to po raz pierwszy opublikowali Sevcik i Mitrani w 1981 roku.

Twierdzenie dla sieci Gordona-Newella

W zamkniętej sieci Gordona-Newella z m kolejkami napisz ${\ Displaystyle {\ mathbf {n} = (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_{m})}}$ dla stanu sieci. Dla klienta w tranzycie do stanu $) {\ Displaystyle {\ alfa _ {i$ niech $(\ mathbf {n} - \ mathbf {e} _ {i}) }}$ oznaczają prawdopodobieństwo, że bezpośrednio przed przyjazdem klient „zobaczy” jaki ma być stan systemu

${\ Displaystyle \ mathbf {n} - \ mathbf {e} _ {i} = (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {i} -1, \ ldots, n_ {m}).}$

Prawdopodobieństwo $dla$ stanu stan $jednym$ samego typu z mniej . Opublikowali go niezależnie Sevcik i Mitrani oraz Reiser i Lavenberg, gdzie wynik wykorzystano do opracowania analizy wartości średniej .