Losowy model energii

W fizyce statystycznej układów nieuporządkowanych model energii losowej jest zabawkowym modelem układu z wygaszonym zaburzeniem , takim jak szkło spinowe , charakteryzujące się przejściem fazowym pierwszego rzędu . Dotyczy statystyki zbioru $spinów$ tj . stopni swobody ${\ Displaystyle {\ Boldsymbol {\ sigma}} \ równoważnik \ {\ sigma _ {i} \} _ {i = 1} ^ {N}}, który może przyjąć jedną z dwóch możliwych wartości σ$ ja ${\ displaystyle$$displaystyle$$2 ^ {N}}$ ) tak, że liczba możliwych stanów systemu wynosi . Energie takich stanów są niezależnymi i jednakowo rozłożonymi zmiennymi losowymi Gaussa ${\ Displaystyle E_ {x} \ sim {\ mathcal {N}} (0, N/2)}$ ze średnią zerową i wariancją ${\ displaystyle N/2}$ . Wiele właściwości tego modelu można dokładnie obliczyć. Jego prostota sprawia, że ​​model ten nadaje się do pedagogicznego wprowadzenia takich pojęć, jak wygaszony nieporządek i symetria repliki .

Porównanie z innymi układami nieuporządkowanymi

Model o $nieskończonym$ zasięgu -spin , w którym wszystkie $zbiory$ -spin oddziałują z losową, niezależną, identycznie rozłożoną stałą interakcji, staje się modelem energii losowej w ${\ displaystyle r \ do \ infty}$ limit.

Dokładniej, jeśli hamiltonian modelu jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle H ({\ Boldsymbol {\ sigma}}) = \ suma _ {\ {i_{1},\ldots ,i_{r}\}}J_{i_{1},\ldots i_{r}}\sigma _{i_{1}}\cdots \sigma _{i_{r}} ,}$

$\{i_ {1},\ldots,i_{r}\}}$ suma obejmuje wszystkie zestawy ${$ i dla każdego takiego zestawu $r$$wybierz$ , $ldots,i_{r}}}$ jest niezależną zmienną Gaussa średniej 0 i wariancji ${\ Displaystyle J ^ {2} r! / (2N ^ {r-1})}$ , model energii losowej jest odzyskiwany w ${\ displaystyle r \ do \ infty }$ limit.

Wyprowadzanie wielkości termodynamicznych

Jak sama nazwa wskazuje, w fazie REM każdy stan mikroskopowy ma niezależną dystrybucję energii. Dla konkretnej realizacji zaburzenia, gdzie ${\ Displaystyle P (E) = \ delta (EH (\ sigma))}$ gdzie ${\ displaystyle \sigma =(\sigma _{i})}$ odnosi się do indywidualnych konfiguracji spinów opisanych przez stan i ${\ displaystyle H (\ sigma)}$ jest związana z nim energia. Ostateczne zmienne ekstensywne, takie jak energia swobodna, należy uśrednić po wszystkich realizacjach zaburzenia, podobnie jak w przypadku modelu Edwardsa – Andersona . Uśredniając $określone przez mi ( mi )$ że dana konfiguracja układu nieuporządkowanego ma energię równą, $P (E)$ \

${\ Displaystyle [P (E)] = {\ sqrt {\ Frac {1} {N \ pi J ^ {2 }}}}\exp \left(-{\dfrac {E^{2}}{J^{2}N}}\right),}$

gdzie $.$ zaburzenia Co więcej, łączny rozkład prawdopodobieństwa wartości energii dwóch różnych mikroskopijnych $\ sigma}$ spinów i rozkłada na czynniki: $displaystyle$

${\ Displaystyle [P (E, E ')] = [P (E)] \, [P (E')].}$

Można zauważyć, że prawdopodobieństwo danej konfiguracji spinowej zależy tylko od energii tego stanu, a nie od indywidualnej konfiguracji spinowej.

Entropię fazy REM podaje wzór

${\ Displaystyle S (E) = N \ lewo [\ log 2 - \ lewo ({\ Frac {E} {NJ}} \ prawo) ^{2}\prawo]}$

dla $\ sqrt {\ log 2}}} Jednak$ { $to wyrażenie obowiązuje tylko$ gdy entropia ${\ Displaystyle | E | <-NJ {\ sqrt {\ log 2}}.}$ Ponieważ ${\ Displaystyle (1/T) = \ częściowe S/\ częściowe E}$ , odpowiada to ${\ displaystyle T >T_{c}=1/(2{\sqrt {\log 2}})}$ . Dla ${\ displaystyle T <T_ {c}}$ system pozostaje „zamrożony” w niewielkiej liczbie konfiguracji ${\ displaystyle E \ simeq -NJ {\ sqrt {\ log 2}}}$ i entropia na spin zanika w granicy termodynamicznej.