Mała właściwość graniczna

W matematyce właściwość małej granicy jest właściwością pewnych topologicznych układów dynamicznych . Jest dynamicznym odpowiednikiem indukcyjnej definicji Lebesgue'a obejmującej wymiar zero.

Definicja

Rozważ kategorię topologicznego układu dynamicznego ( w skrócie system ) składającego się ze zwartej przestrzeni metrycznej i homeomorfizmu $displaystyle T: X \$$X}$ . Zbiór nazywany jest , $jeśli$ ma pojemność zanikającej orbity tj ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ocap} (E) = 0}$ . Jest to równoważne z: ${\ Displaystyle \ forall \ mu \ in M_ {T} (X), \ \ mu (E) = 0}$ gdzie $Displaystyle M_ {T} (X)}$$\ displaystyle X}$ oznacza zbiór - niezmiennych miar $na$ X .

${$ system ma właściwość małej granicy (SBP) $,$ ma otwartych $ja$ którego granice są małe, tj. ${\ Displaystyle \ operatorname {ocap} (\ częściowe O_ {i })=0}$ dla wszystkich ${\ displaystyle i}$ .

Czy zawsze można obniżyć entropię topologiczną?

Małe zbiory zostały wprowadzone przez Michaela Shuba i Benjamina Weissa podczas badania pytania „czy zawsze można obniżyć entropię topologiczną?” Cytując z ich artykułu:

„W przypadku entropii teoretycznej miary dobrze wiadomo i dość łatwo zauważyć, że dodatnia transformacja entropii zawsze ma czynniki o mniejszej entropii. Rzeczywiście, czynnik wygenerowany przez podział na dwa zbiory z jednym ze zbiorów mającym bardzo małą miarę zawsze będzie miał małe entropia. Naszym celem jest tutaj potraktowanie analogicznego zagadnienia dla entropii topologicznej… Wykluczymy czynnik trywialny, w którym redukuje się do jednego punktu.

$alternatywnie$ { \ Displaystyle $}$ T $)}$ X $,$$,$ nazywa się rozszerzeniem suriekcyjne $\ rightarrow Y},$$dla$ jest odpowiednikiem , tj wszystkich $} \displaystyle x\w X}$ .

$displaystyle (Y, S)}$$)$$uwagę$ system i można znaleźć ${$ tak, że ${\ Displaystyle \ operatorname {h_ {top}} (Y, S) <\ varepsilon}$ ?

$nazywany$$niezmiennych$ że system jest minimalnym niepustych zamkniętych - podzbiorów. Nazywa się to nieskończonym, jeśli ${\ Displaystyle | X | = \ infty}$ .

Lindenstrauss wprowadził SBP i udowodnił:

$Twierdzenie$ : Niech systemu Następujące są równoważne:

1. ${\ Displaystyle (X, T)}$ ma właściwość małej granicy.
2. ${\ Displaystyle \ operatorname {mdim} (X, T) = 0}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {mdim}}$ oznacza średni wymiar .
3. ε ${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$${\ Displaystyle \ varphi _ {xy}: (X, T) \ rightarrow (Y_ {xy}, S)}$ x $\ Displaystyle x \ neq y \ w X}$ istnieje czynnik więc ${\ Displaystyle \ varphi _ {xy} (x) \ neq \ varphi _ {xy} (y)}$ i ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {h_ {top }} (Y_{xy},S)<\varepsilon}$ .
4. ${\ Displaystyle (X, T) = \ varprojlim (X_ {i}, T_ {i})}$ gdzie ${\ Displaystyle \ {(X_ {i}, T_ {i}) \} _ {i = 1} ^ {\ infty}} jest$ odwrotną granicą systemów o skończonej topologicznej entropii ${\ Displaystyle \ operatorname {h_ {top}} (X_ {i}, T_ {i}) <\ infty}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i}$ .

Później twierdzenie to zostało uogólnione na kontekst kilku transformacji dojazdów przez Gutmana, Lindenstraussa i Tsukamoto.

Układy bez nietrywialnych skończonych czynników entropii

Niech ${\ Displaystyle X = [0,1] ^ {\ mathbb {Z}}}$ i ${\ Displaystyle T: X \ rightarrow X}$ będzie homeomorfizmem przesunięcia

${\ Displaystyle (\ ldots, x_ {-2}, x_ {-1}, \ mathbf {x_ {0}}, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots) \ rightarrow (\ ldots, x_ {- 1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots).}$

To jest mapa Bakera , sformułowana jako przesunięcie dwustronne. Można wykazać, że ${\ Displaystyle (X, T)}$ nie ma nietrywialnych skończonych czynników entropii. Można również znaleźć systemy minimalne o tej samej właściwości.