Mapa Chialvo

Zmienna aktywacji w funkcji czasu dla reżimu chaotycznego

Rozwiązanie równań mapy Chialvo dla reżimu chaotycznego

Zmienna aktywacji w funkcji czasu dla reżimu pobudliwego

Rozwiązanie równań mapy Chialvo dla reżimu pobudliwego

Mapa Chialvo to dwuwymiarowa mapa zaproponowana przez Dantego R. Chialvo w 1995 roku w celu opisania ogólnej dynamiki układów pobudliwych. Model jest inspirowany podejściem numerycznym Kunihiko Kaneko z metodą sprzężonej sieci map (CML), w której czas i przestrzeń traktuje się jako zmienne dyskretne, ale stan jako zmienne ciągłe. Później podobne podejście spopularyzował Rulkow. Używając tylko trzech parametrów, model jest w stanie skutecznie naśladować generyczną dynamikę neuronów w symulacjach obliczeniowych, jako pojedyncze elementy lub jako części wzajemnie połączonych sieci.

Modelka

Model jest mapą iteracyjną, w której w każdym kroku czasowym zachowanie jednego neuronu jest aktualizowane jako następujące równania:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x_ {n + 1} = & f (x_ {n}, y_ {n}) = x_ {n} ^ {2} \ exp {(y_ {n} -x_ {n })}+k\\y_{n+1}=&g(x_{n},y_{n})=ay_{n}-bx_{n}+c\\\koniec{wyrównany}}}$$

w którym $zmienną$$zmienną$ lub potencjału czynnościowego, a odzyskiwania. Model ma cztery parametry, $Displaystyle (a <1$$)$ od czasu perturbacją addytywną lub stałym odchyleniem, jest stałą czasową powrotu do zdrowia $}$ , $b} to zależność$$\$ aktywacji procesu odzyskiwania i $)$ przesunięcia Model ma bogatą dynamikę, prezentując zachowania od oscylacyjnych do chaotycznych, a także nietrywialne reakcje na niewielkie fluktuacje stochastyczne.

Analiza

Pęknięcie i chaos

Mapa jest w stanie uchwycić rozwiązania aperiodyczne i zachowanie typu burst, które są niezwykłe w kontekście systemów neuronowych. Na przykład dla wartości ${\ Displaystyle a = 0,89}$ , ${\ Displaystyle c = 0,28}$ i ${\ Displaystyle k = 0,025}$ i zmieniając b z ${\ Displaystyle 0,6}$ na ${\ displaystyle 0.18}$ system przechodzi od oscylacji do nieokresowych rozwiązań rozrywających.

Punkty stałe

Biorąc pod uwagę przypadek, w którym $displaystyle b <<$ b $}$ model naśladuje brak „inaktywacji zależnej od napięcia” dla prawdziwych neuronów, a ewolucja zmiennej odzyskiwania jest w ${\ displaystyle y_ {f0}}$ . Dlatego dynamika zmiennej aktywacji jest zasadniczo opisana przez iterację następujących równań

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x_ {n +1}=&f(x_{n},y_{f0})=x_{n}^{2}exp(r-x_{n})\\r=&y_{f0}=c/(1-a) \\\koniec {wyrównany}}}$

w $_$$_$ _ _

Przykłady

Przykład 1

$jest$ połączenie $siatce , w tym celu można$ zdefiniować neuronów. Dla neuronów w jednym rzędzie możemy zdefiniować ewolucję potencjału czynnościowego w czasie przez dyfuzję lokalnej temperatury w: x $\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle x_ {n + 1 }^{i}=(1-d)f(x_{n}^{i})+(d/2)[f(x_{n}^{i+1})+f(x_{n}^ {i-1})]}$

gdzie $jest$$indeksem$ czasowym i każdego neuronu. Dla wartości ${\ Displaystyle a = 0,89}$ b $\ Displaystyle b = 0,6}$ , do ${\ Displaystyle c = 0,28}$ k $\ Displaystyle k = 0,02}$ , przy braku perturbacje są w stanie spoczynku. Jeśli wprowadzimy bodziec na komórkę 1, indukuje on dwie rozchodzące się fale krążące w przeciwnych kierunkach, które ostatecznie zapadają się i umierają w środku pierścienia.

Przykład 2

Analogicznie do poprzedniego przykładu możliwe jest utworzenie zestawu neuronów sprzężonych na siatce 2-D, w tym przypadku ewolucja potencjałów czynnościowych jest dana wzorem:

${\ Displaystyle x_ {n + 1} ^ {i, j} = (1-d) f (x_ {n} ^ {i,j})+(d/4)[f(x_{n}^{i+1,j})+f(x_{n}^{i-1,j})+f(x_{n }^{i,j+1})+f(x_{n}^{i,j-1})]}$

gdzie ${\ displaystyle i}$ , ${\ displaystyle j}$ , reprezentują indeks każdego neuronu w kwadratowej siatce o rozmiarze ${\ displaystyle I}$ , ${\ displaystyle J}$ . Na tym przykładzie fale spiralne można przedstawić dla określonych wartości parametrów. Aby zwizualizować spirale, ustawiliśmy warunek początkowy $zdrowia$${\ Displaystyle y ^ {ij} = y_ {f} - (j * 0,0066)}$ jako .

Przykład fal spiralnych dla dwuwymiarowej mapy Chialvo w sieci 100 x 100 i parametrach a=0,89, b=0,6, c= 0,26 i k=0,02.

Mapa może również prezentować chaotyczną dynamikę dla określonych wartości parametrów. Na poniższym rysunku pokazujemy chaotyczne zachowanie zmiennej $=$${\ Displaystyle b = 0,18}$${$ dla parametrów , $\ displaystyle a$ za , ${\ Displaystyle c = 0,28}$ i ${\ Displaystyle k = 0,026}$ .

Ewolucja potencjału X w funkcji czasu w sieci 500x500 dla reżimu chaotycznego o parametrach a=0,89, b=0,18, c= 0,28 i k=0,026.

$mapa$ łączy się z czterema najbliższymi sąsiadami na kwadratowej siatce, a ponadto każda mapa ma prawdopodobieństwo losowego połączenia z inną wybrany, na początku symulacji pojawi się wiele współistniejących okrągłych fal wzbudzenia, aż spirale przejmą kontrolę.

Przykład fal spiralnych dla dwuwymiarowej mapy Chialvo w odprężonej losowej sieci zaczynającej się od sieci 128 x 128 z prawdopodobieństwem zmiany okablowania $parametrami$ a = 0,89, b = 0,6, c i k=0,02.

Chaotyczne i okresowe zachowanie neuronu

$stałej$ , w granicach , mapa staje się 1D, ponieważ $.$ do Jeśli parametr $zeskanowany$ w zakresie, widoczne będą różne orbity, niektóre okresowe, inne chaotyczne, które pojawiają się między dwoma stałymi punktami, jednym w ; ${\ displaystyle x = 1}$ ; ${\ Displaystyle y = 1},$ a drugi bliski wartości $.$ co byłoby reżimem pobudliwym)

Ewolucja jako funkcja parametru $.$ neuronu $Chialvo$ Parametry : ${\ Displaystyle a = 0,89}$ , ${\ Displaystyle c = 0,28}$ , ${\ Displaystyle k = 0,026}$ i ${\ Displaystyle b}$ od ${\ Displaystyle 0,16}$${\ Displaystyle 0,4}$ .

$.$$:$ Ewolucja jako funkcja parametru neuronu mapy Chialvo Parametry : ${\ Displaystyle a = 0,89}$ , ${\ Displaystyle c = 0,28}$ , ${\ Displaystyle k = 0,026}$ i ${\ Displaystyle b}$ od ${\ Displaystyle 0,16}$${\ Displaystyle 0,4}$ .