Matrycowy zmienny rozkład beta

W statystyce macierz rozkładu zmiennych beta jest uogólnieniem rozkładu beta . U $displaystyle a, b>$$dodatnio$$}$ jest określoną macierzą z macierzą o zmiennym rozkładzie beta i są parametrami rzeczywistymi, piszemy ${\ Displaystyle U \ sim B_ {p} \ lewo (a, b \ prawo)}$ (czasami ${\ Displaystyle B_ {p} ^ {ja} \ lewo (a ,b\prawo)}$ ). Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla jest następująca: ${\ displaystyle U}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {\ beta _ {p} \ lewo (a, b \ prawo) \ prawo \} ^ {-1} \ det \ lewo (U \ prawo) ^ {a- (p + 1) / 2}\det \lewo(I_{p}-U\prawo)^{b-(p+1)/2}.}$

Matrycowy zmienny rozkład beta

Notacja	${\ Displaystyle {\ rm {B}} _ {p} (a, b)}$
Parametry	${\ displaystyle a, b}$
Wsparcie	${\ Displaystyle p \ razy p} macierze z$ dodatnim określonym zarówno ${\ Displaystyle U},$ jak i ${\ Displaystyle I_ {p} -U}$
PDF	${\ Displaystyle \ lewo \ {\ beta _ {p} \ lewo (a, b \ prawo) \ prawo \} ^ {-1} \ det \ lewo (U \ prawo) ^ {a- (p + 1) / 2}\det \lewo(I_{p}-U\prawo)^{b-(p+1)/2}.}$
CDF	${\ Displaystyle {} _ {1} F_ {1} \ lewo (a; a + b; iZ \ prawo)}$

Tutaj ${\ Displaystyle \ beta _ {p} \ lewo (a, b \ prawo)}$ jest wielowymiarową funkcją beta:

${\ Displaystyle \ beta _ {p} \ lewo (a, b \ prawo) = {\ Frac {\ Gamma _{p}\left(a\right)\Gamma _{p}\left(b\right)}{\Gamma _{p}\left(a+b\right)}}}$

gdzie jest wielowymiarową funkcją gamma określoną przez ${\ Displaystyle \ Gamma _ {p} \ lewo (a \ prawo)}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {p} \ lewo (a \ prawo) = \ pi ^ {p (p-1)/4} \ prod _ {i = 1} ^ {p} \ Gamma \ lewo (a- ( i-1)/2\prawo).}$

Twierdzenia

Rozkład odwrotności macierzy

${\ Displaystyle U \ sim B_ {p} (a, b)}$ za to gęstość ${\ Displaystyle X = U ^ {- 1}}$ dana przez

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ beta _ {p} \left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2 }}$

pod warunkiem, że $Displaystyle a, b> (p-1$ , $1$ .

Transformacja ortogonalna

U ${\ Displaystyle U \ sim B_ {p} (a, b)}$$Displaystyle$ jest stałą macierzą ortogonalną $p \ razy p$ } wtedy ${\ Displaystyle HH ^ {T} \ sim B (a, b).}$

$\ displaystyle HUH ^ {T} \ sim B_ {p} (a, b)}$ , jeśli jest losową macierzą ortogonalną, która jest $U {$ od , H $}$$H$$displaystyle$ , rozprowadzane niezależnie od ${\ displaystyle H}$ .

Jeśli $jest$ stałą macierzą rangi ${\$$displaystyle AUA^{T}}$$q$$\$$}$ , U ma uogólniony macierzowy rozkład zmiennych beta, w szczególności ${\ Displaystyle AUA ^ {T} \ sim GB_ {q} \ lewo (a, b; AA ^ {T}, 0 \ prawej)}$ .

Wyniki macierzy podzielonej na partycje

${\ Displaystyle U \ sim B_ {p} \ lewo (a, b \ prawo)}$ za podzielimy jako ${\ displaystyle U}$

${\ Displaystyle U = {\ rozpocząć {bmatrix} U_ {11} i U_ {12} \\ U_ {21} i U_ {22} \ koniec {bmatrix}}}$

gdzie ${\ Displaystyle U_ {11}}$ to ${\ displaystyle p_ {1} \ razy p_ {1}}$ i ${\ Displaystyle U_ {22}}$ to ${\ displaystyle p_ {2} \ razy p_ {2}}$ , a następnie definiując dopełnienie Schura ${\ Displaystyle U_ {22 \ cdot 1}}$ jako ${\ Displaystyle U_ {22} -U_ {21} {U_ {11}} ^ {-1} U_ {12}}$ daje następujące wyniki:

• ${\ Displaystyle U_ {11}}$ jest niezależny od ${\ Displaystyle U_ {22 \ cdot 1}}$
• ${\ Displaystyle U_ {11} \ sim B_ {p_ {1}} \ lewo (a, b \ prawo)}$
• ${\ Displaystyle U_ {22 \ cdot 1} \ sim B_ {p_ {2}} \ lewo (ap_ {1}/2, b \Prawidłowy)}$
• ${\ Displaystyle U_ {21} \ mid U_ {11}, U_ {22 \ cdot 1}}$ ma odwrócony rozkład macierzy zmiennej t, w szczególności ${\ Displaystyle U_ {21} \ mid U_ {11}, U_ {22 \ cdot 1} \ sim IT_ {p_ {2}, p_ {1}} \ lewo (2b-p + 1,0, I_ {p_ { 2}}-U_{22\cdot 1},U_{11}(I_{p_{1}}-U_{11})\prawo).}$

Wyniki życzeń

Mitra dowodzi następującego twierdzenia, które ilustruje użyteczną właściwość macierzy rozkładu zmiennych beta. Załóżmy, że ${\ Displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$ są niezależnymi macierzami Wishart ${\ Displaystyle p \ razy p}$${\ Displaystyle S_ {1} \ sim W_ {p} (n_ {1}, \ Sigma), S_ {2} \ sim W_ {p} (n_ {2}, \ Sigma)}$ . Załóżmy, że jest dodatnio określony $i$ że ${\ Displaystyle n_ {1} + n_ {2} \ geq p$ . Jeśli

$U = S ^ {- 1/2} S_ {1} \ lewo (S ^ {- 1/2} \ prawo)$

gdzie ${\ Displaystyle S = S_ {1} + S_ {2}}$${\ Displaystyle B_ {p} (n_ {1}/2, n_ {2}/2)$ to ma $p$ zmienną rozkład beta } W szczególności jest niezależny od $displaystyle$$\ Sigma}$ .

Zobacz też

• Macierzowy rozkład Dirichleta

• AK Gupta i DK Nagar 1999. „Macierzowe rozkłady zmiennych”. Chapmana i Halla.
• SK Mitra 1970. „Podejście bez gęstości do rozkładu beta zmiennych macierzy”. The Indian Journal of Statistics, seria A , (1961-2002), tom 32, numer 1 (marzec 1970), s. 81-88.