Wielowymiarowa funkcja gamma

W matematyce wielowymiarowa funkcja gamma Γp jest uogólnieniem _funkcji gamma . Jest to przydatne w statystyce wielowymiarowej , występującej w funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Wisharta i odwrotnego rozkładu Wisharta oraz w macierzy zmiennych rozkładów beta .

Ma dwie równoważne definicje. Jeden jest podany jako następująca całka po dodatnio określonych rzeczywistych macierzach: ${\ displaystyle p \ razy p}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ int _ {S> 0} \ exp \ lewo (- {\ rm {tr}} (S) \ prawej) \ ,\left|S\right|^{a-{\frac {p+1}{2}}}dS,}$

gdzie ${\ displaystyle | S |}$ oznacza wyznacznik ${\ displaystyle S}$ . Drugi, bardziej przydatny do uzyskania wyniku liczbowego, to:

${\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {p (p-1)/4} \ prod _ {j = 1} ^ {p} \ Gamma (a + (1-j) / 2) .}$

W obu definicjach $jest$ zespoloną, której część rzeczywista spełnia ${\ Displaystyle \ Re (a)> (p-1) / 2}$ . Zauważ, że $gamma$ funkcji Druga z powyższych definicji pozwala bezpośrednio uzyskać relacje rekurencyjne dla ${\ displaystyle p \ geq 2}$ :

${\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {(p-1)/2} \ Gamma (a) \ Gamma _ {p-1} (a- {\ tfrac {1} {2} })=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma (a+(1-p)/2).}$

Zatem

• ${\ Displaystyle \ Gamma _ {2} (a) = \ pi ^ {1/2} \ Gamma (a) \ Gamma (a-1/2)}$
• ${\ Displaystyle \ Gamma _ {3} (a) = \ pi ^ {3/2} \ Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)}$

i tak dalej.

Można to również rozszerzyć na wartości niecałkowite za pomocą wyrażenia: ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {p (p-1)/4} {\ Frac {G (a + {\ Frac {1} {2}}) G (a + 1) }{G(a+{\frac {1-p}{2}})G(a+1-{\frac {p}{2}})}}}$

Gdzie G jest funkcją G Barnesa , nieokreślonym iloczynem funkcji Gamma .

Funkcja została wyprowadzona przez Andersona z pierwszych zasad, który cytuje również wcześniejsze prace Wisharta , Mahalanobisa i innych.

Istnieje również wersja wielowymiarowej funkcji gamma, która zamiast pojedynczej liczby zespolonej jako argument przyjmuje $wektor$ liczb zespolonych. Uogólnia zdefiniowaną powyżej wielowymiarową funkcję gamma, o ile ta ostatnia jest uzyskiwana przez określony wybór wielowymiarowego argumentu pierwszej.

Pochodne

Możemy zdefiniować wielowymiarową funkcję digamma jako

${\ Displaystyle \ psi _ {p} (a) = {\ frac {\częściowy \log \Gamma _{p}(a)}{\częściowy a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2),}$

a ogólna funkcja poligamma jako

${\ Displaystyle \ psi _ {p} ^ {(n)} (a) = {\ Frac {\ częściowe ^ {n} \ log \ Gamma _ {p} (a)} {\ częściowe a ^ {n}} }=\suma _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+(1-i)/2).}$

Kroki obliczeniowe

• ponieważ

${\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {p ( p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right)} wynika z tego,$

że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Gamma _ {p} (a)} {\ częściowe a}} = \ pi ^ {p (p-1)/4} \ suma _ {i = 1} ^ {p }{\frac {\częściowa \Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}{\częściowa a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{ p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right).}$

• Z definicji funkcji digamma , ψ,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Gamma (a + (1-i) / 2)} {\ częściowe a}} = \ psi (a + (i-1) / 2)\Gamma (a+(i-1)/2)}$

wynika z tego, że

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ częściowe \ Gamma _ {p} (a)} {\ częściowe a}} & = \ pi ^ {p (p-1)/4} \ prod _ { j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2)\suma _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2)\\[4pt]& =\Gamma _{p}(a)\suma _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2).\end{wyrównane}}}$

• 1.    James, A. (1964). „Rozkłady zmiennych macierzy i ukrytych korzeni pochodzących z próbek normalnych” . Roczniki statystyki matematycznej . 35 (2): 475–501. doi : 10.1214/aoms/1177703550 . MR 0181057 . Zbl 0121.36605 .
• 2. AK Gupta i DK Nagar 1999. „Macierzowe rozkłady zmiennych”. Chapmana i Halla.