Mechanizm podziału kosztów

W ekonomii i projektowaniu mechanizmów mechanizm podziału kosztów to proces, w którym kilku agentów decyduje o zakresie produktu lub usługi publicznej oraz o tym, ile każdy agent powinien za to zapłacić. Podział kosztów jest łatwy, gdy koszt krańcowy jest stały: w tym przypadku każdy agent, który chce usługi, płaci tylko swój koszt krańcowy. Podział kosztów staje się bardziej interesujący, gdy koszt krańcowy nie jest stały. Wraz ze wzrostem kosztów krańcowych agenci nakładają na siebie nawzajem negatywne efekty zewnętrzne ; przy malejących kosztach krańcowych agenci narzucają sobie nawzajem pozytywne efekty zewnętrzne (patrz przykład poniżej ). Celem mechanizmu podziału kosztów jest podzielenie tego efektu zewnętrznego między agentów.

Istnieją różne mechanizmy podziału kosztów, w zależności od rodzaju produktu/usługi i rodzaju funkcji kosztów.

Produkt podzielny, zwiększający koszty krańcowe

W tym ustawieniu kilku agentów współdzieli technologię produkcji. Muszą zdecydować, ile produkować i jak dzielić koszty produkcji. Technologia ma rosnący koszt krańcowy – im więcej się produkuje, tym trudniej jest wyprodukować więcej jednostek (tj. koszt jest wypukłą funkcją popytu).

Przykładowa funkcja kosztu to:

1 $ za sztukę dla pierwszych 10 jednostek;
10 USD za jednostkę za każdą dodatkową jednostkę.

Jeśli więc jest trzech agentów, których żądania to 3, 6 i 10, to całkowity koszt wynosi 100 USD.

Definicje

Problem podziału kosztów jest zdefiniowany przez następujące funkcje, gdzie i jest agentem, a Q jest ilością produktu:

Popyt ( i ) = kwota, którą agent i chce otrzymać.
Koszt( Q ) = koszt wytworzenia Q jednostek produktu.

Rozwiązanie problemu podziału kosztów jest definiowane przez płatność $za$ obsługiwanego agenta, tak aby całkowita płatność była równa

{\ Displaystyle \ suma _ {i} {\ tekst {Zapłać}} (i) = {\ tekst {Koszt}}} {\ duży (} D {\ duży)}}

;

gdzie D jest całkowitym popytem:

{\ Displaystyle D: = \ suma _ {i} {\ tekst {Zapotrzebowanie}} (i)}

Zaproponowano kilka rozwiązań z podziałem kosztów.

Średni podział kosztów

W literaturze dotyczącej wyceny kosztowej monopolu regulowanego powszechnie przyjmuje się, że każdy agent powinien ponosić swój przeciętny koszt, tj.:

{\ Displaystyle {\ tekst {Zapłata}} (i) = {\ tekst {Koszt}} (D) \ cdot {\ tekst {Zapotrzebowanie}} ( ID}

W powyższym przykładzie płatności wynoszą 15,8 (dla popytu 3), 31,6 (dla popytu 6) i 52,6 (dla popytu 10).

Ta metoda podziału kosztów ma kilka zalet:

Nie mają na nią wpływu manipulacje, w których dwóch agentów otwarcie łączy swoje żądania w jednego superagenta lub jeden agent otwarcie dzieli swoje żądanie na dwóch podagentów. Rzeczywiście, jest to jedyna metoda odporna na takie manipulacje.
Nie mają na nią wpływu manipulacje, w których dwóch agentów potajemnie przenosi między sobą koszty i produkty.
Każdy agent płaci co najmniej swój indywidualny koszt – koszt, który poniósłby, gdyby nie istnieli inni agenci. Jest to miara solidarności: żaden podmiot nie powinien czerpać korzyści z negatywnych efektów zewnętrznych.

Ma jednak wadę:

Agent może zapłacić więcej niż jego jednomyślny koszt - koszt, który zapłaciłby, gdyby wszyscy inni agenci mieli takie samo żądanie.

Jest to miara sprawiedliwości: żaden podmiot nie powinien zbytnio cierpieć z powodu negatywnych efektów zewnętrznych. W powyższym przykładzie agent z popytem 3 może twierdzić, że gdyby wszyscy inni agenci byli tak skromni jak on, nie byłoby negatywnych efektów zewnętrznych i każdy agent zapłaciłby tylko 1 dolara za jednostkę, więc nie powinien płacić więcej niż to.

Podział kosztów krańcowych

W podziale kosztów krańcowych płatność każdego agenta zależy od jego popytu i kosztu krańcowego w bieżącym stanie produkcji:

{\ Displaystyle {\ text {Pay}} (i) = { \text{Zapotrzebowanie}}(i)\cdot {\text{Koszt}}'(D)+{1 \ponad n}{\big (}{\text{Koszt}}(D)-D\cdot Koszt' (D) {\ duży )}}

W powyższym przykładzie płatności wynoszą 0 (dla popytu 3), 30 (dla popytu 6) i 70 (dla popytu 10).

Ta metoda gwarantuje, że agent zapłaci co najwyżej swój jednomyślny koszt - koszt, który zapłaciłby, gdyby wszyscy inni agenci mieli takie samo żądanie.

Jednak agent może zapłacić mniej niż jego samodzielny koszt . W powyższym przykładzie agent z żądaniem 3 nic nie płaci (w niektórych przypadkach możliwe jest nawet, że agent zapłaci wartość ujemną).

Szeregowy podział kosztów

Szeregowy podział kosztów można opisać jako wynik następującego procesu.

W czasie 0 wszyscy agenci wchodzą do pokoju.
Maszyna zaczyna produkować jedną jednostkę na minutę.
Wyprodukowana jednostka i jej koszt są równo dzielone między wszystkich agentów w pomieszczeniu.
Ilekroć agent czuje, że jego żądanie zostało spełnione, wychodzi z pokoju.

Tak więc, jeśli agenci są uporządkowani w rosnącej kolejności popytu:

Agent 1 (z najniższym popytem) płaci:

\ Displaystyle {Koszt (n \ cdot {\ tekst {Popyt}} (1)) \ ponad n}}

;

Agent 2 płaci:

\ Displaystyle {Koszt (n \ cdot {\ tekst {popyt}} (1)} \ ponad n}}

plus

{\ Displaystyle {Koszt ({\ tekst {Popyt}} (1) + (n-1 ){\text{Zapotrzebowanie}}(2))-Cost(n\cdot {\text{Zapotrzebowanie}}(1)) \ponad n-1}}

;

i tak dalej.

Ta metoda gwarantuje, że każdy agent płaci co najmniej swój indywidualny koszt i co najwyżej swój jednomyślny koszt .

Jednak nie jest odporny na dzielenie lub łączenie agentów lub na przenoszenie danych wejściowych i wyjściowych między agentami. Dlatego ma to sens tylko wtedy, gdy takie transfery są niemożliwe (na przykład przy telewizji kablowej lub usługach telefonicznych).

Usługa binarna, zmniejszająca koszty krańcowe

W tym ustawieniu istnieje usługa binarna — każdy agent jest obsługiwany lub nie jest obsługiwany. Koszt usługi jest wyższy, gdy obsługiwanych jest więcej agentów, ale koszt krańcowy jest mniejszy niż w przypadku obsługi każdego agenta z osobna (tj. koszt jest funkcją zbioru submodułowego ). Jako typowy przykład rozważmy dwóch agentów, Alice i George'a, którzy mieszkają w pobliżu źródła wody, w następujących odległościach:

Źródło-Alicja: 8 km
Źródło-George: 7 km
Alice-George: 2 km

Załóżmy, że każdy kilometr wodociągu kosztuje 1000 dolarów. Mamy następujące opcje:

Nikt nie jest podłączony; koszt wynosi 0.
Tylko George jest podłączony; koszt to 7000 $.
Tylko Alicja jest połączona; koszt to 8000 dolarów.
Zarówno Alice, jak i George są połączeni; koszt to 9000 $, ponieważ rura może biec od Źródła do George'a, a następnie do Alicji. Zauważ, że jest to znacznie tańsze niż suma kosztów George'a i Alicji.

Wybór między tymi czterema opcjami powinien zależeć od wycen agentów - ile każdy z nich jest skłonny zapłacić za podłączenie do źródła wody.

Celem jest znalezienie prawdziwego mechanizmu , który skłoni agentów do ujawnienia swojej prawdziwej gotowości do zapłaty.

Definicje

Problem podziału kosztów jest zdefiniowany przez następujące funkcje, gdzie i jest agentem, a S jest podzbiorem agentów:

Wartość ( i ) = kwota, jaką agent i jest skłonny zapłacić, aby móc korzystać z usługi.
Cost( S ) = koszt obsługi wszystkich i tylko agentów w S . Np. w powyższym przykładzie Cost({Alice,George})=9000.

Rozwiązanie problemu podziału kosztów jest zdefiniowane przez:

Podzbiór S agentów, którzy powinni zostać obsłużeni;
Płatność $.$ za

Rozwiązanie może charakteryzować się:

Nadwyżka budżetowa rozwiązania to całkowita płatność minus całkowity koszt: ${\ Displaystyle Nadwyżka: = \ suma _ {i \ in S}{\text{Zapłać}}(i)-{\text{Koszt}}(S)}$ . Chcielibyśmy mieć równowagę budżetową , co oznacza, że nadwyżka powinna wynosić dokładnie 0.
Dobrobyt społeczny rozwiązania to całkowita użyteczność minus całkowity koszt: ${\ Displaystyle Welfare: = \ suma _ {i \ in S}{\text{Wartość}}(i)-{\text{Koszt}}(S)}$ . Chcielibyśmy mieć efektywność , czyli maksymalizację dobrobytu społecznego.

Niemożliwe jest jednoczesne osiągnięcie prawdomówności, równowagi budżetowej i wydajności; dlatego istnieją dwie klasy prawdziwych mechanizmów:

Mechanizmy Tatonement - zrównoważone budżetowo, ale nieefektywne

Zrównoważony budżetowo mechanizm podziału kosztów można zdefiniować za pomocą funkcji Payment( i , S ) - płatności, którą agent i musi zapłacić, gdy podzbiór obsługiwanych agentów to S . Ta funkcja powinna spełniać następujące dwie właściwości:

bilans budżetowy: całkowita płatność przez dowolny podzbiór jest równa całkowitemu kosztowi obsługi tego podzbioru: ${\ Displaystyle \ forall S: \ suma _ {i \ w S}{\text{Płatność}}(i,S)={\text{Koszt}}(S)}$ . Jeśli więc obsługiwany jest pojedynczy agent, musi on pokryć wszystkie swoje koszty, ale jeśli obsługiwanych jest dwóch lub więcej agentów, każdy z nich może zapłacić mniej niż jego indywidualny koszt ze względu na submodularność.
monotoniczność populacji: płatność agenta słabo rośnie, gdy podzbiór obsługiwanych agentów maleje: ${\ Displaystyle T \ supseteq S \ implikuje {\ tekst {Płatność} }(i,T)\leq {\text{Płatność}}(i,S)}$ .

W przypadku każdej takiej funkcji problem podziału kosztów z kosztami submodułowymi można rozwiązać za pomocą następującego procesu tatonnement :

Niech S będzie początkowo zbiorem wszystkich agentów.
Powiedz każdemu agentowi i , że powinien zapłacić Płatność ( i , S ).
Każdy agent, który nie chce zapłacić swojej ceny, opuszcza S .
Jeśli jakiś agent opuścił S , wróć do kroku 2.
W przeciwnym razie zakończ i przeprowadź serwer agentów, którzy pozostają w S .

Należy zauważyć, że zgodnie z właściwością monotoniczności populacji cena zawsze wzrasta, gdy ludzie opuszczają S . Dlatego agent nigdy nie będzie chciał wrócić do S , więc mechanizm jest zgodny z prawdą (proces jest podobny do aukcji angielskiej ). Oprócz prawdomówności mechanizm ma następujące zalety:

Strategia grupowa – żadna grupa agentów nie zyska na raportowaniu nieprawdy.
Brak pozytywnych przelewów - żaden agent nie otrzymuje pieniędzy za obsługę.
Racjonalność indywidualna - żaden agent nie traci wartości z tytułu uczestnictwa (w szczególności agent nieobsługiwany nic nie płaci, a agent obsługiwany co najwyżej płaci swoją wycenę).
Suwerenność konsumenta - każdy agent może zdecydować się na usługę, jeśli jego gotowość do zapłaty jest wystarczająco duża.

Co więcej, każdy mechanizm spełniający równowagę budżetową, brak transferów dodatnich, racjonalność indywidualną, suwerenność konsumenta i odporność na strategię grupową można wyprowadzić w ten sposób za pomocą odpowiedniej funkcji Płatności.

Mechanizm może wybrać funkcję Płatności, aby osiągnąć takie cele jak uczciwość czy efektywność. Kiedy agenci mają równe prawa a priori, niektóre rozsądne funkcje płatnicze to:

Wartość Shapleya , np. dla dwóch agentów płatności, gdy obaj są obsługiwani, wynoszą: Płatność(Alicja,Oboje) = [Koszt(Oboje)+Koszt(Alicja)-Koszt(George)]/2, Płatność(George,Oboje) ) = [Koszt(Oba)+Koszt(Jerzy)-Koszt(Alicja)]/2.
Rozwiązanie egalitarne, np. Płatność(Alicja,Oba) = mediana[Koszt(Alicja), Koszt(Oba)/2, Koszt(Oba)-Koszt(George)], Płatność(George,Obie) = mediana[Koszt(George) , Koszt(Oba)/2, Koszt(Oba)-Koszt(Alicja)].
Gdy agenci mają różne uprawnienia (np. niektórzy agenci są starsi niż inni), możliwe jest obciążenie najstarszego agenta tylko jego kosztem krańcowym, np. jeśli George jest starszy, to dla każdego podzbioru S, który nie zawiera George'a: Payment( George,S+George) = Koszt(S+George)−Koszt(S). Podobnie kolejny najstarszy agent może zapłacić pozostały koszt krańcowy i tak dalej.

Powyższe mechanizmy podziału kosztów nie są efektywne – nie zawsze wybierają alokację o najwyższym dobrobycie społecznym. Ale kiedy funkcja płatności zostanie wybrana jako wartość Shapleya, utrata dobrobytu jest zminimalizowana.

Mechanizmy VCG – wydajne, ale niezrównoważone budżetowo

Inną klasą mechanizmów podziału kosztów są mechanizmy VCG . Mechanizm VCG zawsze wybiera społecznie optymalną alokację - alokację, która maksymalizuje całkowitą użyteczność obsługiwanych agentów minus koszt ich obsługi. Następnie każdy agent otrzymuje dobro innych agentów i płaci kwotę, która zależy tylko od wycen innych agentów. Co więcej, wszystkie mechanizmy VCG spełniają zasadę suwerenności konsumenta.

Istnieje jeden mechanizm VCG, który również spełnia wymagania braku dodatnich transferów i indywidualnej racjonalności - jest to mechanizm wyceny kosztów krańcowych . Jest to specjalny mechanizm VCG, w którym każdy nieobsługiwany agent nic nie płaci, a każdy obsługiwany agent płaci:

{\ Displaystyle Zapłata(i)=Wartość(i)-[Dobrobyt(Wszystko)-Dobrobyt(Wszystko\setminus \{i\})]}

Oznacza to, że każdy agent płaci swoją wartość, ale otrzymuje z powrotem dobrobyt, który jest dodawany przez jego obecność. Tym samym interesy agenta są zbieżne z interesami społeczeństwa (maksymalizacja dobrobytu społecznego), więc mechanizm jest zgodny z prawdą.

Problem z tym mechanizmem polega na tym, że nie jest on zrównoważony budżetowo – generuje deficyt. Rozważmy powyższy przykład wodociągu i załóżmy, że zarówno Alicja, jak i George wyceniają tę usługę na 10 000 USD. Kiedy obsługiwana jest tylko Alicja, dobrostan wynosi 10000-8000=2000; kiedy serwowany jest tylko George; dobrobyt wynosi 10000-7000=3000; gdy oba są obsługiwane, dobrobyt wynosi 10000+10000-9000=11000. Dlatego mechanizm wyceny kosztów krańcowych wybiera obsługę obu agentów. George płaci 10000-(11000-2000)=1000, a Alicja płaci 10000-(11000-3000)=2000. Całkowita płatność to tylko 3000, czyli mniej niż całkowity koszt 9000.

Co więcej, mechanizm VCG nie jest odporny na strategię grupową: agent może pomóc innym agentom, podnosząc swoją wycenę, bez szkody dla siebie.

Zobacz też

Carpool - aplikacja do podziału kosztów.
Wartość Shapleya - możliwa reguła podziału kosztów.
Dobro publiczne
Lokalizacja placówki (gra kooperacyjna)
Dzielenie się nadwyżkami