Metoda Bogackiego-Shampine'a

Metoda Bogackiego-Shampine'a jest metodą numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych , zaproponowaną przez Przemysława Bogackiego i Lawrence'a F. Shampine'a w 1989 roku ( Bogacki & Shampine 1989 ). Metoda Bogackiego-Shampine'a jest metodą Runge-Kutty rzędu trzeciego z czterema etapami z właściwością First Same As Last (FSAL), dzięki czemu wykorzystuje około trzech ocen funkcji na krok. Ma wbudowaną metodę drugiego rzędu, której można użyć do implementacji adaptacyjnego rozmiaru kroku . Metoda Bogackiego-Shampine'a jest zaimplementowana w ode3 dla solwera o stałym kroku i ode23 dla solwera o zmiennym kroku w MATLAB ( Shampine & Reichelt 1997 ).

Metody niskiego rzędu są bardziej odpowiednie niż metody wyższego rzędu, takie jak metoda Dormanda-Prince'a rzędu piątego, jeśli wymagane jest tylko zgrubne przybliżenie rozwiązania. Bogacki i Shampine argumentują, że ich metoda przewyższa inne metody trzeciego rzędu z wbudowaną metodą drugiego rzędu.

Tablica Butchera dla metody Bogackiego-Shampine'a to:

	0
	1/2	1/2
	3/4	0	3/4
	1	2/9	1/3	4/9
		2/9	1/3	4/9	0
		24.07	1/4	1/3	1/8

Zgodnie ze standardową notacją równanie różniczkowe do rozwiązania to ${\ Displaystyle y' = f (t, y)}$ . Ponadto ${\ Displaystyle y_ {n}}$ oznacza rozwiązanie numeryczne w czasie, $}$$}$${\ displaystyle h_ {n} = t_ {n + 1} -t_ {n}}$ to rozmiar kroku, określony t . Wtedy jeden krok metody Bogackiego-Shampine'a jest określony wzorem:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} k_ {1} & = f (t_ {n}, y_ {n}) \\ k_ {2} & = f (t_ {n} + {\ tfrac {1} {2} }}h_{n},y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h_{n}k_{1})\\k_{3}&=f(t_{n}+{\tfrac { 3}{4}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {3}{4}}h_{n}k_{2})\\y_{n+1}&=y_{n}+ {\tfrac {2}{9}}h_{n}k_{1}+{\tfrac {1}{3}}h_{n}k_{2}+{\tfrac {4}{9}}h_{ n}k_{3}\\k_{4}&=f(t_{n}+h_{n},y_{n+1})\\z_{n+1}&=y_{n}+{\ tfrac {7}{24}}h_{n}k_{1}+{\tfrac {1}{4}}h_{n}k_{2}+{\tfrac {1}{3}}h_{n} k_{3}+{\tfrac {1}{8}}h_{n}k_{4}.\end{wyrównane}}}$

Tutaj $dokładnego$ przybliżeniem drugiego rzędu Metoda $1965$ pochodzi ( ) $+ 1$ drugiej strony ${$ trzeciego rzędu, więc różnica między i $} \displaystyle z_{n+1}}$ 1 może służyć do dostosowania wielkości kroku . Właściwość FSAL - pierwsza taka sama jak ostatnia $displaystyle k_ {4}}$ polega na tym, że wartość etapu w jednym kroku jest równa następnym kroku; ${\$ w związku z tym potrzebne są tylko trzy oceny funkcji na krok.

•   Bogacki, Przemysław; Shampine, Lawrence F. (1989), „A 3 (2) para formuł Runge – Kutta”, Applied Mathematics Letters , 2 (4): 321–325, doi : 10.1016/0893-9659 (89) 90079-7 , ISSN 0893-9659 .
• Ralston, Anthony (1965), Pierwszy kurs analizy numerycznej , Nowy Jork: McGraw-Hill .
•   Shampine, Lawrence F.; Reichelt, Mark W. (1997), „The Matlab ODE Suite” (PDF) , SIAM Journal on Scientific Computing , 18 (1): 1–22, Bibcode : 1997SJSC...18...1S , doi : 10.1137 /S1064827594276424 , ISSN 1064-8275 .