Metoda Monte Carlo w fizyce statystycznej

Monte Carlo w fizyce statystycznej odnosi się do zastosowania metody Monte Carlo do problemów fizyki statystycznej lub mechaniki statystycznej .

Przegląd

Ogólną motywacją do stosowania metody Monte Carlo w fizyce statystycznej jest ocena całki wielu zmiennych. Typowy problem zaczyna się od układu, dla którego znany jest hamiltonian, ma on określoną temperaturę i jest zgodny ze statystyką Boltzmanna . Aby uzyskać średnią wartość jakiejś makroskopowej zmiennej, powiedzmy A, ogólne podejście polega na obliczeniu w całej przestrzeni fazowej PS dla uproszczenia średniej wartości A przy użyciu rozkładu Boltzmanna:

{\ Displaystyle \ langle A \ rangle = \ int _ {PS} A _ {\ vec {r}}} {\ Frac {e ^ { -\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}}

.

mi ${\ Displaystyle E ({\ vec {r}}) = E _ {\ vec {r}}} jest energią układu dla danego stanu zdefiniowanego przez r → {\ displaystyle {\ vec {r}}} - wektor ze wszystkimi stopniami swobody (na przykład dla układu$ r $($ q → ${r}} = \ lewo ({\ vec {q }},{\vec {p}}\right)} )$ , ${\ Displaystyle \ beta \ równoważnik 1/k_ {b} T}$ i

{\ Displaystyle Z = \ int _ {PS} e ^ {- \ beta E _ {\ vec {r}}} d {\ vec {r}}}

jest funkcją podziału .

Jednym z możliwych podejść do rozwiązania tej całki wielu zmiennych jest dokładne wyliczenie wszystkich możliwych konfiguracji systemu i dowolne obliczenie średnich. Odbywa się to w układach dokładnie rozwiązywalnych oraz w symulacjach prostych układów z niewielką liczbą cząstek. Z drugiej strony, w realistycznych systemach dokładne wyliczenie może być trudne lub niemożliwe do wdrożenia.

W przypadku tych systemów na ogół stosuje się integrację Monte Carlo (nie mylić z metodą Monte Carlo , która jest używana do symulacji łańcuchów molekularnych). Główną $niezależnie$ użycia jest fakt, że przy całkowaniu Monte Carlo błąd wynosi wymiaru całki. Innym ważnym pojęciem związanym z integracją Monte Carlo jest próbkowanie ważności , technika poprawiająca czas obliczeniowy symulacji.

W kolejnych podrozdziałach omówiono ogólną implementację całkowania Monte Carlo do rozwiązywania tego rodzaju problemów.

Próbkowanie ważności

Oszacowanie, w ramach integracji Monte Carlo, całki określonej jako

{\ Displaystyle \ langle A \ rangle = \ int _ {PS} A _ {\ vec {r}} e ^ {- \ beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}/Z}

Jest

{\ Displaystyle \ langle A \ rangle \ simeq {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {i = 1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}

gdzie $funkcji$ równomiernie uzyskiwane z całej przestrzeni fazowej (PS), a N to liczba punktów próbkowania (lub ocen

Z całej przestrzeni fazowej niektóre jej strefy są generalnie ważniejsze dla średniej zmiennej $niż$ . W szczególności $które mają$ wartość resztą widma energii są najbardziej odpowiednie dla całki. Korzystając z tego faktu, naturalne pytanie, które należy zadać, brzmi: czy możliwe jest wybieranie z większą częstotliwością stanów, o których wiadomo, że są bardziej odpowiednie dla całki? Odpowiedź brzmi: tak, używając próbkowania ważności .

Załóżmy, że $rozkładem$ , który wybiera stany, o których wiadomo, że są bardziej

Średnią wartość można przepisać jako. ${\ displaystyle A}$

{\ Displaystyle \ langle A \ rangle = \ int _ {PS} p ^ {-1} ({\ vec {r}}) {\ Frac {A _ {\ vec {r}} }{p^{-1}({\vec {r}})}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}=\int _{PS} p^{-1}({\vec {r}})A_{\vec {r}}^{*}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r} }}

,

gdzie ${\ Displaystyle A _ {\ vec {r}} ^ {*}}$ to próbkowane wartości uwzględniające prawdopodobieństwo ważności ${\ Displaystyle p ({\ vec {r}})}$ . Całkę tę można oszacować przez

{\ Displaystyle \ langle A \ rangle \ simeq {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {i = 1} ^ {N} p ^ {-1} ({\ vec {r}} _ {i}) A_ {{\ vec {r} }_{i}}^{*}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}

gdzie ${\ vec {r}})}$ teraz generowane losowo przy użyciu rozkładu $.$ Ponieważ w większości przypadków nie jest łatwo znaleźć sposób generowania stanów o danym rozkładzie, należy użyć algorytmu Metropolis .

Kanoniczny

Ponieważ wiadomo, że najbardziej prawdopodobnymi stanami są te, które maksymalizują rozkład Boltzmanna, dobrą dystrybucją $.$ jest Boltzmann dystrybucja lub dystrybucja kanoniczna. Pozwalać

{\ Displaystyle p ({\ vec {r}}) = {\ Frac {e ^ {- \ beta E _ {\ vec {r}}}} {Z} }}

być dystrybucją do użycia. Zastępując poprzednią sumę,

{\ Displaystyle \ langle A \ rangle \ simeq {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {i = 1} ^ {N} A_ { {\vec {r}}_{i}}^{*}}

.

Tak więc procedura uzyskania średniej wartości danej zmiennej za pomocą algorytmu metropolii z rozkładem kanonicznym polega na użyciu algorytmu Metropolisa do wygenerowania stanów określonych przez rozkład p ( r → ) {\ $vec { r}})}$ i wykonaj środki ponad ${\ Displaystyle A _ {\ vec {r}} ^ {*}}$ .

Korzystając z algorytmu metropolii z rozkładem kanonicznym, należy wziąć pod uwagę jedną ważną kwestię: wykonując daną miarę, tj. realizację , należy upewnić się, że ta realizacja ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$ nie jest skorelowany z poprzednim stanem systemu (w przeciwnym razie stany nie są generowane „losowo”). W systemach z odpowiednimi przerwami energetycznymi jest to główna wada stosowania rozkładu kanonicznego, ponieważ czas potrzebny do dekorelacji systemu z poprzedniego stanu może dążyć do nieskończoności.

Wielokanoniczne

Jak wspomniano wcześniej, podejście mikrokanoniczne ma poważną wadę, która staje się istotna w większości systemów wykorzystujących integrację Monte Carlo. W przypadku systemów z „szorstkimi krajobrazami energetycznymi” można zastosować podejście wielokanoniczne.

Podejście wielokanoniczne wykorzystuje inny wybór do próbkowania ważności:

{\ Displaystyle p ({\ vec {r}}) = {\ Frac {1} {\ omega (E _ {\ vec {r}})}}}

gdzie $_$ . _ _ Główną zaletą tego wyboru jest to, że histogram energii jest płaski, tzn. generowane stany są równomiernie rozłożone na energię. Oznacza to, że podczas korzystania z algorytmu Metropolis symulacja nie widzi „surowego krajobrazu energetycznego”, ponieważ każda energia jest traktowana jednakowo.

$wyboru$ fakt, że w większości systemów nieznany. Aby temu zaradzić, algorytm Wanga i Landaua jest zwykle używany do uzyskania DOS podczas symulacji. Zauważ, że znając DOS, średnie wartości każdej zmiennej można obliczyć dla każdej temperatury, ponieważ generowanie stanów nie zależy od ${\ displaystyle \ beta}$ .

Realizacja

W tej sekcji implementacja skupi się na modelu Isinga . Rozważmy dwuwymiarową sieć spinową, z L spinami (miejscami sieciowymi) po każdej stronie. ${\ Displaystyle {\ vec {r}} = (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, ..., \ sigma _ {N})}$ istnieją $,$ , więc przestrzeń fazowa jest dyskretna i gdzie ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} \ in \ {- 1,1 \}}$ jest spinem każdego miejsca w sieci. Energia układu jest dana wzorem ${\ Displaystyle E ({\ vec {r}}) = \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ suma _ {j \ w viz_ {i}} (1-J_ {ij} \ sigma _ {i } \ sigma _ {j})}$ , gdzie to zbiór pierwszych spinów sąsiedztwa i, a J to macierz interakcji (dla modelu ferromagnetycznego $,$ ). Problem jest podany.

W tym przykładzie celem jest uzyskanie i ${\ Displaystyle \ langle M$ $\ rangle}$ na przykład podatności magnetycznej system), ponieważ można go łatwo uogólnić na inne obserwable. Zgodnie z definicją, ${\ Displaystyle M ({\ vec {r}}) = \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ sigma _ {i} }$ .

Kanoniczny

Najpierw system musi zostać zainicjowany: niech $systemu$ Boltzmanna i zainicjuje system stanem początkowym ( wynik końcowy nie powinien od tego zależeć).

W przypadku wyboru mikrokanonicznego należy zastosować metodę metropolii. Ponieważ nie ma właściwego sposobu wyboru, który stan ma zostać wybrany, można uszczegółowić i spróbować odwrócić jeden obrót na raz. Ten wybór jest zwykle nazywany single spin flip . W celu wykonania pojedynczego pomiaru należy wykonać następujące czynności.

krok 1: wygeneruj stan zgodny z rozkładem ${\ Displaystyle p ({\ vec {r}})}$

krok 1.1: Wykonaj TT razy następującą iterację:

krok 1.1.1: wybierz losowo miejsce w sieci (z prawdopodobieństwem 1/N), które będzie nazywane ja , ze spinem ${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$ .

krok 1.1.2: wybierz losową liczbę ${\ Displaystyle \ alpha \ in [0,1]}$ .

krok 1.1.3: oblicz zmianę energii przy próbie odwrócenia spinu i:

{\ Displaystyle \ Delta E = 2 \ sigma _ {i} \ suma _ {j \ w viz_ {i}} \ sigma _ {j}}

i jego zmiana namagnesowania: ${\ Displaystyle \ Delta M = -2 \ sigma _ {i}}$

krok 1.1.4: jeśli ${\ Displaystyle \ alfa <\ min (1, e ^ {- \ beta \ Delta E})}$ odwróć obrót ( ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} = - \ sigma _ {i}} )$ , w przeciwnym razie nie.

krok 1.1.5: zaktualizuj kilka zmiennych makroskopowych na wypadek odwrócenia obrotu: ${\ Displaystyle E = E + \ Delta E}$ , ${\ Displaystyle M = M + \ Delta M}$

po czasach TT uważa się, że system nie jest skorelowany ze swoim poprzednim stanem, co oznacza, że w tym momencie prawdopodobieństwo, że system znajdzie się w danym stanie, jest zgodne z rozkładem Boltzmanna, co jest celem proponowanym przez tę metodę.

krok 2: wykonaj pomiar:

krok 2.1: zapisz na histogramie wartości M i M ² .

Na koniec należy zauważyć, że TT nie jest łatwe do oszacowania, ponieważ nie jest łatwo powiedzieć, kiedy system jest dekorelowany z poprzedniego stanu. Aby przekroczyć ten punkt, generalnie nie używa się stałego TT, ale TT jako czas tunelowania . Jeden czas tunelowania definiuje się jako liczbę kroków 1. które system musi wykonać, aby przejść od minimum energii do maksimum i powrócić.

Główną wadą tej metody z $.$ odwrócenia spinu w systemach takich jak model Isinga to, że czas tunelowania skaluje się jako prawo potęgowe, gdzie z większe niż 0,5, zjawisko znane jako krytyczne spowolnienie

Stosowalność

Metoda pomija zatem dynamikę, co może być główną wadą lub wielką zaletą. Rzeczywiście, metodę można zastosować tylko do wielkości statycznych, ale swoboda wyboru ruchów czyni metodę bardzo elastyczną. Dodatkową zaletą jest to, że niektóre systemy, takie jak model Isinga , nie mają opisu dynamicznego i są definiowane jedynie przez receptę energetyczną; dla nich podejście Monte Carlo jest jedynym wykonalnym.

Uogólnienia

Wielki sukces tej metody w mechanice statystycznej doprowadził do różnych uogólnień, takich jak metoda symulowanego wyżarzania w celu optymalizacji, w której wprowadza się fikcyjną temperaturę, a następnie stopniowo ją obniża.

Zobacz też

Allen, poseł i Tildesley, DJ (1987). Symulacja komputerowa płynów . Oxford University Press. ISBN 0-19-855645-4 .
Frenkel, D. & Smit, B. (2001). Zrozumienie symulacji molekularnej . Prasa akademicka. ISBN 0-12-267351-4 .
Binder, K. & Heermann, DW (2002). Symulacja Monte Carlo w fizyce statystycznej . Wprowadzenie (wyd. 4). Skoczek. ISBN 3-540-43221-3 .
Spanier, Hieronim; Gelbard, Ely M. (2008). „Próbkowanie ważności”. Zasady Monte Carlo i problemy z transportem neutronów . Dover. s. 110–124. ISBN 978-0-486-46293-6 .