Metoda Van der Pauwa

Metoda van der Pauw jest techniką powszechnie stosowaną do pomiaru rezystywności i współczynnika Halla próbki. Jego moc polega na możliwości dokładnego pomiaru właściwości próbki o dowolnym kształcie, o ile próbka jest w przybliżeniu dwuwymiarowa (tj. jest znacznie cieńsza niż szersza), lita (bez otworów), a elektrody umieszczone są na jego obwodzie . Metoda van der Pauw wykorzystuje czteropunktową sondę umieszczoną na obwodzie próbki, w przeciwieństwie do liniowej sondy czteropunktowej : pozwala to metodzie van der Pauw zapewnić średnią rezystywność próbki, podczas gdy układ liniowy zapewnia rezystywność w kierunku wykrywania. Ta różnica staje się ważna w przypadku materiałów anizotropowych, które można odpowiednio zmierzyć za pomocą metody Montgomery'ego, będącej rozszerzeniem metody van der Pauw (patrz na przykład odnośnik).

Na podstawie wykonanych pomiarów można obliczyć następujące właściwości materiału:

• Rezystywność materiału _
• Rodzaj domieszkowania (tj. czy jest to materiał typu P czy typu N )
• Gęstość nośnika arkusza nośnika większościowego (liczba nośników większościowych na jednostkę powierzchni). Z tego można znaleźć gęstość ładunku i poziom domieszkowania
• Mobilność przewoźnika większościowego

Metoda została po raz pierwszy zaproponowana przez Leo J. van der Pauw w 1958 roku.

Warunki

Istnieje pięć warunków, które muszą być spełnione, aby zastosować tę technikę: 1. Próbka musi mieć płaski kształt o jednakowej grubości 2. Próbka nie może mieć żadnych izolowanych otworów 3. Próbka musi być jednorodna i izotropowa 4. Wszystkie cztery styki muszą znajdować się na krawędziach próbki 5. Powierzchnia styku każdego pojedynczego styku powinna być co najmniej o rząd wielkości mniejsza niż powierzchnia całej próbki.

Drugi warunek można osłabić. Technikę van der Pauw można również zastosować do próbek z jednym otworem.

przygotowanie próbki

Aby zastosować metodę van der Pauw, grubość próbki musi być znacznie mniejsza niż szerokość i długość próbki. W celu zmniejszenia błędów w obliczeniach zaleca się, aby próbka była symetryczna. W próbce nie może być również żadnych pojedynczych otworów.

Niektóre możliwe lokalizacje kontaktów

Pomiary wymagają umieszczenia na próbce czterech styków omowych . Aby je umieścić, muszą być spełnione określone warunki:

• Muszą być jak najmniejsze; wszelkie błędy wynikające z ich niezerowego rozmiaru będą rzędu D/L , gdzie D jest średnią średnicą styku, a L jest odległością między stykami.
• Muszą znajdować się jak najbliżej granicy próbki.

Ponadto wszelkie przewody ze styków powinny być wykonane z tej samej partii drutu, aby zminimalizować efekty termoelektryczne . Z tego samego powodu wszystkie cztery styki powinny być wykonane z tego samego materiału.

Definicje pomiarów

• Styki są ponumerowane od 1 do 4 w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od lewego górnego styku.
• Prąd I12 jest dodatnim prądem stałym wprowadzanym do styku 1 i pobieranym ze styku 2 , _i jest mierzony w amperach ( A).
• Napięcie V ₃₄ jest napięciem prądu stałego mierzonym między stykami 3 i 4 ( tj. V ₄ - V 3 ) bez zewnętrznego pola magnetycznego, mierzonym w woltach (V) _.
• Rezystywność ρ jest mierzona w omach ⋅ metrach ( Ω⋅m ).
• Grubość próbki t jest mierzona w metrach (m).
• Rezystancja arkusza R S _jest mierzona w omach na kwadrat (Ω / sq lub ${\ Displaystyle \ Omega / \ Box}$ ).

Pomiary rezystywności

Średnia rezystywność próbki jest określona wzorem ρ = R _S ⋅t , gdzie rezystancja powierzchniowa R _S jest określona w następujący sposób. W przypadku materiału anizotropowego poszczególne składowe rezystywności, np. ρ _x lub ρ _y , można obliczyć metodą Montgomery'ego.

Podstawowe pomiary

_wykonać pomiar, powoduje się przepływ prądu wzdłuż jednej krawędzi próbki (na przykład _I12 ) i mierzy się napięcie na przeciwległej krawędzi (w tym przypadku V34 ). Na podstawie tych dwóch wartości opór (w tym przykładzie ) można znaleźć za pomocą prawa Ohma : ${\ displaystyle R_ {12,34}}$

${\ Displaystyle R_ {12,34} = {\ Frac {V_ {34}} {I_ {12}}}}$

W swoim artykule van der Pauw wykazał, że rezystancję arkusza próbek o dowolnych kształtach można określić na podstawie dwóch z tych rezystancji - jednej mierzonej wzdłuż pionowej krawędzi, na przykład $12,34}}$ { i odpowiadający mu mierzony wzdłuż poziomej krawędzi, na przykład ${\ Displaystyle R_ {23,41}}$ . Rzeczywista rezystancja arkusza jest powiązana z tymi rezystancjami za pomocą wzoru van der Pauw

${\ Displaystyle e ^ {- \ pi R_ {12,34} / R_ {s}} + e ^ {- \ pi R_{23,41}/R_{s}}=1}$

Pomiary wzajemne

Mówi nam o tym twierdzenie o wzajemności [1].

${\ Displaystyle R_ {AB, CD} = R_ {CD, AB}}$

Dlatego możliwe jest uzyskanie dokładniejszej wartości rezystancji i $12,34}$ , ${$ wartości odwrotne $R_ {$$}}$ i uśrednianie wyników

definiujemy

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {pionowo}} = {\ Frac {R_ {12,34} + R_ {34,12}} {2}}}$

I

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {poziomy}} = {\ Frac {R_ {23,41} + R_ {41,23}} {2}}}$

Następnie formuła van der Pauw staje się

${\ Displaystyle e ^ {- \ pi R _ {\ tekst {pionowo}} / R_ {S}} + e ^ {- \ pi R_ {\text{poziomy}}/R_{S}}=1}$

Pomiary odwróconej polaryzacji

Dalszą poprawę dokładności wartości rezystancji można uzyskać powtarzając pomiary rezystancji po zmianie polaryzacji zarówno źródła prądu, jak i woltomierza. Ponieważ nadal mierzy się tę samą część próbki, tylko w przeciwnym kierunku, wartości R _{w pionie} i R _{w poziomie} nadal można obliczyć jako średnie pomiarów standardowej i odwróconej polaryzacji. Zaletą takiego postępowania jest to, że wszelkie napięcia przesunięcia, takie jak potencjały termoelektryczne wynikające z efektu Seebecka , zostaną zniesione.

Połączenie tych metod z odwrotnymi pomiarami z góry prowadzi do wzorów na rezystancje

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {pionowo}} = {\ Frac {R_ {12,34} + R_ {34, 12}+R_{21,43}+R_{43,21}}{4}}}$

I

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {poziomy}} = {\ Frac {R_ {23,41} + R_ {41, 23}+R_{32,14}+R_{14,32}}{4}}}$

Formuła van der Pauw ma taką samą postać jak w poprzedniej sekcji.

Dokładność pomiaru

Obie powyższe procedury sprawdzają powtarzalność pomiarów. Jeśli którykolwiek z pomiarów odwróconej polaryzacji nie zgadza się z wystarczającym stopniem dokładności (zwykle w granicach 3%) z odpowiednim standardowym pomiarem polaryzacji, prawdopodobnie gdzieś w konfiguracji tkwi źródło błędu, które należy zbadać przed kontynuowaniem. Ta sama zasada dotyczy pomiarów wzajemnych – powinny się one w wystarczającym stopniu zgadzać, zanim zostaną użyte w jakichkolwiek obliczeniach.

Obliczanie rezystancji arkusza

Ogólnie rzecz biorąc, wzoru van der Pauw nie można przeorganizować, aby uzyskać rezystancję arkusza R _S pod względem znanych funkcji. Najbardziej godnym uwagi wyjątkiem jest sytuacja, gdy R _{w pionie} = R = R _{w poziomie} ; w tym scenariuszu rezystancja arkusza jest określona wzorem

${\ Displaystyle R_ {S} = {\ Frac {\ pi R} {\ ln 2}}}$

Iloraz $stała$ van der Pauw i ma W większości innych scenariuszy metoda iteracyjna jest używana do numerycznego rozwiązania wzoru van der Pauw dla _RS . Zazwyczaj uważa się, że formuła nie spełnia warunków wstępnych twierdzenia Banacha o punkcie stałym , więc oparte na niej metody nie działają. Zamiast tego zagnieżdżone interwały zbiegają się powoli, ale systematycznie. Ostatnio jednak wykazano, że odpowiednie przeformułowanie problemu van der Pauwa (np. poprzez wprowadzenie drugiego wzoru van der Pauwa) czyni go w pełni rozwiązywalnym metodą punktów stałych Banacha.

Alternatywnie metoda Newtona-Raphsona zbiega się stosunkowo szybko. Aby zmniejszyć złożoność zapisu, wprowadzono następujące zmienne:

$\ pi / {R_ {s}}}}$

${\ Displaystyle R_ {v} = R_ { pionowo}}$

${\ Displaystyle R_ {h} = R_ {poziomy}}$

Wtedy następne przybliżenie jest obliczane przez ${\ Displaystyle R_ {s} ^ {+}}$

${\ Displaystyle R_ {s} ^ {+} = R_ {s} + R_{s}^{2}{\frac {1-s^{R_{v}}-s^{R_{h}}}{\pi (R_{v}s^{R_{v}}+R_ {h}s^{R_{h}})}}}$

Pomiary hali

Tło

Główny artykuł: efekt Halla

Gdy naładowana cząstka — na przykład elektron — zostanie umieszczona w polu magnetycznym , działa na nią siła Lorentza proporcjonalna do natężenia pola i prędkości, z jaką się przez to porusza. Siła ta jest największa, gdy kierunek ruchu jest prostopadły do ​​kierunku pola magnetycznego; w tym przypadku siła

${\ Displaystyle F_ {L} = qvB \, \!}$

gdzie $jest$$ładunkiem$ cząstki w , prędkością z $jaką$ się porusza (centymetry na sekundę ), a siłą pola magnetycznego ( Wb cm²). Należy zauważyć, że centymetry są często używane do pomiaru długości w przemyśle półprzewodnikowym, dlatego są one używane tutaj zamiast jednostek metrycznych w układzie SI .

Efekt Halla stosowany w metodzie van der Pauw. (a) - prąd płynący przez kawałek materiału półprzewodnikowego (b) - elektrony płynące pod wpływem prądu (c) - elektrony gromadzące się na jednej krawędzi pod wpływem pola magnetycznego (d) - wynikowe pole elektryczne i napięcie Halla ${\ Displaystyle V_ {H}}$

Kiedy prąd jest przykładany do kawałka materiału półprzewodnikowego, powoduje to stały przepływ elektronów przez materiał (jak pokazano w częściach ( a) i (b) załączonego rysunku). Prędkość, z jaką poruszają się elektrony, wynosi (patrz prąd elektryczny ):

${\ Displaystyle v = {\ Frac {I} {nAq}}}$

gdzie to $gęstość$ elektronów, $to$ pole przekroju poprzecznego materiału i $.$ elementarny × ^10-19 kulombów )

Jeśli następnie przyłoży się zewnętrzne pole magnetyczne prostopadle do kierunku przepływu prądu, wówczas wypadkowa siła Lorentza spowoduje gromadzenie się elektronów na jednej krawędzi próbki (patrz część (c) rysunku ). Łącząc powyższe dwa równania i zauważając, że jest to ładunek elektronu, otrzymujemy wzór na siłę Lorentza, której doświadczają elektrony: ${\ displaystyle q}$

${\ Displaystyle F_ {L} = {\ Frac {IB} {nA}}}$

Ta akumulacja stworzy pole elektryczne w poprzek materiału z powodu nierównomiernego rozkładu ładunku, jak pokazano w części (d) rysunku. To $różnicy$ kolei prowadzi do potencjałów w całym materiale, znanej jako napięcie . Jednak prąd nadal płynie tylko wzdłuż materiału, co wskazuje, że siła działająca na elektrony spowodowana polem elektrycznym równoważy siłę Lorentza. Ponieważ siła działająca na elektron z $pola$ wynosi ${\ Displaystyle q \ epsilon}$ , możemy powiedzieć, że siła pola elektrycznego jest zatem

${\ Displaystyle \ epsilon = {\ Frac {IB} {qnA}}}$

Wreszcie wielkość napięcia Halla to po prostu siła pola elektrycznego pomnożona przez szerokość materiału; to jest,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} V_ {H} i = w \ epsilon \\& = {\ Frac {wIB} {qnA}} \\&={\frac {IB}{qnt}}\end{wyrównane}}}$

gdzie $jest$ materiału. Ponieważ gęstość arkusza jest zdefiniowana jako gęstość elektronów pomnożona przez grubość materiału, możemy zdefiniować napięcie Halla na podstawie gęstości arkusza: n $\ displaystyle n_ {s} }$

${\ Displaystyle V_ {H} = {\ Frac {IB} {qn_ {s}}}}$

Dokonywanie pomiarów

Należy wykonać dwa zestawy pomiarów: jeden z polem magnetycznym w dodatnim kierunku z , jak pokazano powyżej, i jeden z nim w ujemnym kierunku z . Odtąd napięcia rejestrowane z polem dodatnim będą miały indeks dolny P (na przykład V _{13, P} = V _{3, P} - V _{1, P} ), a te rejestrowane z polem ujemnym będą miały indeks dolny N (np. jako V _{13, N} = V _{3, N} - V _{1, N} ). Dla wszystkich pomiarów wielkość wprowadzonego prądu powinna być taka sama; wielkość pola magnetycznego musi być taka sama w obu kierunkach.

Przede wszystkim przy dodatnim polu magnetycznym prąd I ₂₄ jest przykładany do próbki i rejestrowane jest napięcie V _{13, P ;} pamiętaj, że napięcia mogą być dodatnie lub ujemne. Następnie powtarza się to dla I ₁₃ i V _{42, P} .

Tak jak poprzednio, możemy skorzystać z twierdzenia o wzajemności, aby sprawdzić dokładność tych pomiarów. Jeśli odwrócimy kierunek prądów (tj. zastosujemy prąd I ₄₂ i zmierzymy V _{31, P} , i powtórzymy dla I ₃₁ i V _{24, P} ), to V _{13, P} powinno być takie samo jak V _{31, P} z dokładnością do odpowiednio mały stopień błędu. Podobnie, V _{42, P} i V _{24, P} powinny się zgadzać.

Po zakończeniu pomiarów w miejsce dodatniego przykłada się ujemne pole magnetyczne i powyższą procedurę powtarza się uzyskując pomiary napięć V _{13, N} , V _{42, N} , V _{31, N} i V _{24, N} .

Obliczenia

Przede wszystkim należy obliczyć różnicę napięć dodatnich i ujemnych pól magnetycznych:

V ₁₃ = V _{13, P} - V _{13, N} V ₂₄ = V _{24, P} - V _{24, N} V ₃₁ = V _{31, P} - V _{31, N} V ₄₂ = V _{42, P} - V _{42, N}

Ogólne napięcie Halla jest wtedy

${\ Displaystyle V_ {H} = {\ Frac {V_ {13} + V_ {24} + V_ {31} + V_ {42}} {8} }}$ .

Biegunowość tego napięcia Halla wskazuje rodzaj materiału, z którego wykonana jest próbka; jeśli jest dodatni, materiał jest typu P, a jeśli jest ujemny, materiał jest typu N.

Wzór podany w tle można następnie zmienić, aby pokazać, że gęstość arkusza

${\ Displaystyle n_ {s} = {\ Frac {IB} {q| V_ {H}|}}}$

Zauważ, że natężenie pola magnetycznego B musi być wyrażone w jednostkach Wb/cm², jeśli n _s jest wyrażone w cm ⁻² . Na przykład, jeśli siła jest podana w powszechnie używanych jednostkach tesli , można ją przeliczyć, mnożąc ją przez ^10-4 .

Inne obliczenia

Mobilność

Można wykazać rezystywność materiału półprzewodnikowego

${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {1} q (n \ mu _ {n} + p \ mu _ {p})}}}$

gdzie n i p to odpowiednio stężenie elektronów i dziur w materiale, a μ _n i μ _p to odpowiednio ruchliwość elektronów i dziur.

Ogólnie rzecz biorąc, materiał jest wystarczająco domieszkowany, tak że istnieje wiele rzędów wielkości różnicy między dwoma stężeniami, więc to równanie można uprościć do

${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {1} {qn_ {m} \ mu _ {m}}}}$

gdzie n _m i μ _m to odpowiednio poziom dopingu i ruchliwość nośnika większościowego.

Jeśli następnie zauważymy, że rezystancja arkusza R _S to rezystywność podzielona przez grubość próbki, a gęstość arkusza n _S to poziom domieszkowania pomnożony przez grubość, możemy podzielić równanie przez grubość, aby otrzymać

${\ Displaystyle R_ {s} = {\ Frac {1} {qn_ {s} \ mu _ {m}}}}$

Można to następnie zmienić, aby zapewnić ruchliwość nośnika większościowego pod względem wcześniej obliczonej rezystancji arkusza i gęstości arkusza:

${\ Displaystyle \ mu _ {m} = {\ Frac {1} {qn_ {s} R_ {s}}}}$

przypisy

• van der Pauw, LJ (1958). „Metoda pomiaru rezystywności właściwej i efektu Halla dysków o dowolnym kształcie” (PDF) . Raporty badawcze firmy Philips . 13 : 1–9.
• van der Pauw, LJ (1958). „Metoda pomiaru rezystywności i współczynnika Halla na płytkach o dowolnym kształcie” (PDF) . Przegląd techniczny firmy Philips . 20 : 220–224.
• „Pomiary efektu Halla” . Narodowy Instytut Standardów i Technologii. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 15.06.2006 . Źródło 2006-06-24 .
• Pomiar przewodnictwa elektrycznego i rezystywności za pomocą techniki van der Pauw