Metoda numeryczna

W analizie numerycznej metoda numeryczna jest narzędziem matematycznym przeznaczonym do rozwiązywania problemów numerycznych. Implementacja metody numerycznej z odpowiednim sprawdzeniem zbieżności w języku programowania nazywana jest algorytmem numerycznym.

Definicja matematyczna

Niech ${\ Displaystyle F (x, y) = 0}$ będzie dobrze postawionym problemem , tj. ${\ Displaystyle F: X \ razy Y \ rightarrow \ mathbb {R } }$ to rzeczywista lub złożona $zbioru$ $zdefiniowana$ na podstawie iloczynu krzyżowego zbioru danych wejściowych danych wyjściowych , taka, że istnieje a $solwentem$ funkcja lipschitza $fa$ która ma tę właściwość, z $F$ , ${\ Displaystyle y = g (x)}$ . Definiujemy numeryczną metodę aproksymacji ${\ Displaystyle F (x, y) = 0}$ , sekwencja problemów

{\ Displaystyle \ lewo \ {M_ {n} \ prawo \} _ {n \ w \ mathbb {N}} =\left\{F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathbb {N}},}

fa ${\ Displaystyle F_ {n}: X_ {n} \ razy Y_ {n} \ strzałka w prawo \ mathbb {R}}$ , $\ Displaystyle x_ {n} \ w X_ {n}}$ i ${\ Displaystyle y_ {n} \ w Y_ {n}}$ dla każdego ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {N}}$ . Problemy, z których składa się metoda, nie muszą być dobrze postawione. Jeśli tak, mówi się, że jest metoda stabilne lub dobrze ułożone .

Konsystencja

Warunkiem koniecznym metody numerycznej do skutecznego przybliżenia $jest$ $n$ , że $\ Displaystyle F (x, y) = 0$ że $\displaystyle F_ {n}}$ zachowuje się jak gdy $displaystyle n \$ $\ infty}$ rightarrow Tak więc metoda numeryczna nazywana jest spójną wtedy i tylko wtedy, gdy sekwencja funkcji ${\ Displaystyle \ lewo \ {F_ {n} \ prawo \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ punktowo zbiega się do ${\ displaystyle F }$ na zbiorze swoich rozwiązań: ${\ displaystyle S}$

{\ Displaystyle \ lim F_ {n} (x, y + t) = F (x, y, t) = 0, \ quad \ quad \ forall (x, y, t) \ w S.}

Kiedy mówi się, że metoda jest ściśle spójna, gdy ${n} = F, \ forall n \ in \ mathbb {$ $}$ N }

Konwergencja

Oznacz przez $}}$ $n$ sekwencję dopuszczalnych perturbacji dla pewnej metody numerycznej $Displaystyle x \ in$ tj. ${\ Displaystyle x + \ ell _ {n} \ in X_ {n} \ forall n \ in \ mathbb {N}})$ i z ${\ Displaystyle y_ {n} (x + \ ell _ {n}) \ w Y_ {n}}$ wartość taka, że ${\ Displaystyle F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0}$ . Warunkiem $rozwiązania$ który musi metoda, aby być sensownym narzędziem do :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ forall \ varepsilon > 0, \ istnieje n_ {0} (\ varepsilon)> 0, \ istnieje \ delta _ {\ varepsilon, n_ {0}} {\ tekst {taki, że }}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Strzałka w prawo \| y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\równoważnik \varepsilon .\end{wyrównane}}}

Można łatwo udowodnić, że punktowa zbieżność $mathbb {N}}}$ \ implikuje ${\ displaystyle y}$ zbieżność powiązanej metody jest funkcją.

Zobacz też