Metoda triady

Metoda TRIAD jest najwcześniej opublikowanym algorytmem określania położenia statku kosmicznego, który został po raz pierwszy wprowadzony przez Harolda Blacka w 1964 r. Biorąc pod uwagę dwa wektory we współrzędnych odniesienia i współrzędnych ciała satelity, algorytm TRIAD uzyskuje macierz kosinusów kierunku odnoszącą się do obu ramki. Harold Black odegrał kluczową rolę w rozwoju naprowadzania, nawigacji i sterowania systemem satelitarnym Tranzytu Marynarki Wojennej Stanów Zjednoczonych w Johns Hopkins Applied Physics Laboratories. TRIAD reprezentował stan praktyki w określaniu położenia statku kosmicznego przed pojawieniem się problemu Wahby . i jego kilka optymalnych rozwiązań. Analiza kowariancji dla rozwiązania Blacka została następnie dostarczona przez Markleya.

Streszczenie

Po pierwsze, rozważa się liniowo niezależne wektory odniesienia ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {1}}$ i ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {2}}$ . Niech ${\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2}}$ będą odpowiednimi zmierzonymi kierunkami wektorów jednostkowych odniesienia rozłożonych w ciele stały układ odniesienia. Następnie są one następnie powiązane równaniami,

${\ Displaystyle {\ vec {R}} _ {i} = A {\ vec {r}} _ {i}}$

()

dla $i = 1,2}$ $Displaystyle$ , gdzie jest rotacji (czasami znaną również jako właściwa macierz ortogonalna , tj. ${\ Displaystyle A ^ {T} A = ja, det (A) = + 1}$ ). ${\ Displaystyle A}$ przekształca wektory w układzie stałym ciała w układ wektorów odniesienia. Wśród innych właściwości macierze rotacyjne zachowują długość wektora, na którym działają. $\ displaystyle A}$ kierunku przekształca również wektor iloczynu krzyżowego, zapisany jako: ZA {

${\ Displaystyle {\ vec {R}} _ {1} \ razy {\ vec {R}} _ {2} = A \ lewo ( {\vec {r}}_{1}\razy {\vec {r}}_{2}\right)}$

()

TRIAD proponuje oszacowanie kierunku macierzy kosinusowej ${\ displaystyle A}$ rozwiązanie równań układu liniowego podanych przez ZA

${\ Displaystyle \ lewo [{\ vec { R}}_{1}~\vdots ~{\vec {R}}_{2}~\vdots ~\left({\vec {R}}_{1}\times {\vec {R}}_ {2}\right)\right]=A\left[{\vec {r}}_{1}~\vdots ~{\vec {r}}_{2}~\vdots ~\left({\vec {r}}_{1}\razy {\vec {r}}_{2}\right)\right]}$

()

gdzie $.$ użyte do oddzielenia różnych wektorów kolumnowych

Przedstawione powyżej rozwiązanie dobrze sprawdza się w obudowie bezszumowej. Jednak w praktyce $są$ warunek lub macierz cosinusów kierunku) nie jest zachowywana przez powyższą procedurę. TRIAD zawiera następującą elegancką procedurę, aby rozwiązać ten problem. W tym celu definiuje się wektory jednostkowe,

${\ Displaystyle {\ kapelusz {S}} = {\ Frac {{\ vec {R}} _ {1}}{|| {\ vec {R}} _ {1}||}}}$

()

${\ Displaystyle {\ kapelusz {s}} = {\ Frac {{\ vec {r}} _ {1}}{|| {\ vec {r}} _ {1}||}}}$

()

I

${\ Displaystyle {\ kapelusz {M}} = {\ Frac {{\ vec {R}} _ {1} \ razy {\ vec {R}} _ {2}}{|| {\ vec {R}} _{1}\razy {\vec {R}}_{2}||}}}$

()

${\ Displaystyle {\ kapelusz {m}} = {\ Frac {{\ vec {r}} _ {1} \ razy {\ vec {r}} _ {2}}{|| {\ vec {r}} _{1}\razy {\vec {r}}_{2}||}}}$

()

należy stosować zamiast dwóch pierwszych kolumn równania ( 3 ). Ich iloczyn krzyżowy jest używany jako trzecia kolumna w liniowym układzie równań, uzyskując właściwą macierz ortogonalną dla położenia statku kosmicznego określoną wzorem:

${\ Displaystyle \ lewo [{\ kapelusz {S}} ~ \ vdots ~ {\ kapelusz {M }}~\vdots ~{\kapelusz {S}}\times {\kapelusz {M}}\right]=A\lewo[{\kapelusz {s}}~\vdots ~{\kapelusz {m}}~\ vdots ~{\kapelusz {s}}\razy {\kapelusz {m}}\prawo]}$

()

Chociaż normalizacje równań ( 4 ) - ( 7 ) nie są konieczne, zostały one przeprowadzone w celu uzyskania przewagi obliczeniowej w rozwiązywaniu liniowego układu równań w ( 8 ). Zatem oszacowanie położenia statku kosmicznego jest podane przez właściwą macierz ortogonalną as

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} = \ lewo [{\ kapelusz {S}} ~ \ vdots ~ {\ kapelusz {M}} ~ \ vdots ~ {\ kapelusz {S}} \ razy {\ kapelusz {M }}\right]\left[{\kapelusz {s}}~\vdots ~{\kapelusz {m}}~\vdots ~{\kapelusz {s}}\times {\kapelusz {m}}\right]^ {T}.}$

()

Należy zauważyć, że wydajność obliczeniowa została osiągnięta w tej procedurze poprzez zastąpienie macierzy odwrotnej transpozycją. Jest to możliwe, ponieważ każda z macierzy zaangażowanych w obliczenie postawy składa się z TRIADY ortonormalnych wektorów bazowych. „TRIAD” wywodzi swoją nazwę od tej obserwacji.

TRIAD Macierz postaw i ręczność pomiarów

Należy zauważyć, że metoda TRIAD zawsze tworzy właściwą macierz ortogonalną, niezależnie od tego, w jaki sposób wektory odniesienia i ciała są używane w procesie estymacji. Można to przedstawić w następujący sposób: W podanej postaci macierzowej

${\ Displaystyle \ Gamma = A \ Delta}$

()

gdzie ${\ Displaystyle \ Gamma: = \ lewo [{\ kapelusz {S}} ~ \ vdots ~ {\ kapelusz {M}} ~ \ vdots ~ { \hat {S}}\times {\hat {M}}\right]}$ i ${\ Displaystyle \ Delta = \ lewo [{\ kapelusz {s}} ~ \ vdots ~ {\ kapelusz {m}} ~ \ vdots ~ {\ kapelusz {s}} \ razy {\ kapelusz {m}} \ prawo] .}$ Zauważ, że jeśli kolumny ${\ displaystyle \ Gamma}$ tworzą lewoskrętną TRIADĘ, to kolumny ${\ displaystyle \ Delta}$ są również lewoskrętne z powodu zgodności jeden-jeden między wektorami. Wynika to z prostego faktu, że w geometrii euklidesowej kąt między dowolnymi dwoma wektorami pozostaje niezmienny dla przekształceń współrzędnych. Dlatego wyznacznik ${\ Displaystyle det \ lewo (\ Gamma \$ po $}$ lub ${\ displaystyle -1}$ w zależności od tego, czy jego kolumny są odpowiednio praworęczne, czy leworęczne (podobnie, ${\ displaystyle \ Delta = \ pm 1}$ ). Biorąc wyznacznik po obu stronach relacji w równaniu. ( 10 ), można dojść do wniosku, że

${\ Displaystyle det \ lewo (A \ prawo) = 1.}$

()

Jest to bardzo przydatne w zastosowaniach praktycznych, ponieważ analityk zawsze ma zagwarantowaną właściwą macierz ortogonalną, niezależnie od charakteru odniesienia i mierzonych wielkości wektorowych.

Aplikacje

TRIAD został wykorzystany jako technika określania położenia do przetwarzania danych telemetrycznych z systemu satelitarnego Transit (używanego przez Marynarkę Wojenną Stanów Zjednoczonych do nawigacji). Zasady systemu Transit dały początek konstelacji satelitów globalnego systemu pozycjonowania. W problemie aplikacyjnym wektorami odniesienia są zwykle znane kierunki (np. gwiazdy, ziemskie pole magnetyczne, wektor grawitacji itp.). Wektory stałe ciała to zmierzone kierunki obserwowane przez czujnik pokładowy (np. urządzenie śledzące gwiazdy, magnetometr itp.). Wraz z postępem mikroelektroniki algorytmy określania położenia, takie jak TRIAD, znalazły swoje miejsce w różnych urządzeniach (np. smartfonach, samochodach, tabletach, UAV itp.), wywierając szeroki wpływ na współczesne społeczeństwo.

Zobacz też