Problem Wahby

W matematyce stosowanej problem Wahby , po raz pierwszy postawiony przez Grace Wahbę w 1965 r., ma na celu znalezienie macierzy rotacji ( specjalnej macierzy ortogonalnej ) między dwoma układami współrzędnych z zestawu (ważonych) obserwacji wektorowych. Rozwiązania problemu Wahby są często stosowane w określaniu położenia satelitów z wykorzystaniem czujników, takich jak magnetometry i wieloantenowe odbiorniki GPS . Funkcja kosztu, którą problem Wahby ma na celu zminimalizowanie, jest następująca:

{\ Displaystyle J (\ mathbf {R}) = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {k =1}^{N}a_{k}\|\mathbf {w} _{k}-\mathbf {R} \mathbf {v} _{k}\|^{2}} dla

N

\ styl wyświetlania N\geq 2}

gdzie jest $Displaystyle$ -tym 3-wektorowym pomiarem w układzie odniesienia, $\ mathbf {v} _ {k}}$ jest odpowiednim k - pomiar 3-wektorowy w ramie ciała i $.$ macierzą obrotu 3 na 3 między ramkami współrzędnych $\ displaystyle a_ {k}}$ to opcjonalny zestaw wag dla każdej obserwacji.

W literaturze pojawiło się wiele rozwiązań tego problemu, w szczególności metoda q Davenporta, QUEST oraz metody oparte na dekompozycji na wartości osobliwe (SVD). Markley i Mortari omawiają kilka metod rozwiązania problemu Wahby.

Jest to alternatywne sformułowanie problemu Orthogonal Procrustes (rozważ wszystkie wektory pomnożone przez pierwiastki kwadratowe odpowiednich wag jako kolumny dwóch macierzy z N kolumnami, aby uzyskać alternatywne sformułowanie). Eleganckie wyprowadzenie rozwiązania na półtora strony można znaleźć w.

Rozwiązanie przez SVD

Jedno rozwiązanie można znaleźć za pomocą rozkładu na wartości osobliwe (SVD).

1. Uzyskaj macierz w następujący sposób: ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mathbf {w} _ {i} {\ mathbf {v} _{i}}^{T}}

2. Znajdź rozkład wartości osobliwych B $\ Displaystyle \ mathbf {B}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {U} \ mathbf {S} \ mathbf {V} ^ {T}}

3. Macierz rotacji to po prostu:

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {U} \ mathbf {M} \ mathbf {V} ^ {T}}

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ nazwa operatora {diag} ({\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 1 & \ det (\ mathbf {U}) \det(\mathbf {V} )\end{bmatrix}})}$

Notatki

Wahba, G. Problem 65-1: A Least Squares Estimate of Satellite Attitude , SIAM Review, 1965, 7 (3), 409
Shuster, MD i Oh, SD Trójosiowe określanie położenia na podstawie obserwacji wektorowych , Journal of Guidance and Control, 1981, 4 (1): 70–77
Markley, FL Określenie położenia za pomocą obserwacji wektorowych i rozkładu wartości osobliwych , Journal of the Astronautical Sciences, 1988, 38: 245–258
Markley, FL i Mortari, D. Szacowanie postawy kwaternionów za pomocą obserwacji wektorowych , Journal of the Astronautical Sciences, 2000, 48 (2): 359–380
Markley, FL i Crassidis, JL Podstawy określania i kontroli położenia statku kosmicznego , Springer 2014
Libbus, B. i Simons, G. i Yao, Y. Obracanie wielu zestawów oznaczonych punktów w celu zbliżenia ich do bliskiej zbieżności: uogólniony problem Wahby , The American Mathematical Monthly, 2017, 124 (2): 149–160
Lourakis, M. i Terzakis, G. Efficient Absolute Orientation Revisited , IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2018, s. 5813-5818.

Zobacz też