Metoda uśredniania Kryłowa-Bogoliubowa

Metoda uśredniania Kryłowa – Bogolubowa ( metoda uśredniania Kryłowa – Bogolubowa ) to matematyczna metoda przybliżonej analizy procesów oscylacyjnych w mechanice nieliniowej . Metoda opiera się na zasadzie uśredniania, gdy dokładne równanie różniczkowe ruchu zostaje zastąpione jego wersją uśrednioną. Nazwa metody pochodzi od imion Nikołaja Kryłowa i Nikołaja Bogoliubowa .

Gaussa , Fatou , Delone , Hilla stosowano różne schematy uśredniania do badania zagadnień mechaniki nieba . Znaczenie wkładu Kryłowa i Bogoliubowa polega na tym, że opracowali oni podejście do uśredniania ogólnego i udowodnili, że rozwiązanie uśrednionego systemu jest zbliżone do dokładnej dynamiki.

Tło

Uśrednianie Kryłowa-Bogoliubowa może być użyte do przybliżenia problemów oscylacyjnych, gdy zawodzi klasyczna ekspansja perturbacji. Są to z perturbacjami osobliwymi typu oscylacyjnego, na przykład poprawka Einsteina do precesji peryhelium Merkurego .

Pochodzenie

Metoda dotyczy równań różniczkowych w postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} u} {dt ^ {2}}} + k ^ {2 }u=a+\varepsilon f\left(u,{\frac {du}{dt}}\right)}$

dla gładkiej funkcji f wraz z odpowiednimi warunkami początkowymi. Zakłada się, że parametr ε spełnia

${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon \ ll k.}$

Jeśli ε = 0, to równanie staje się równaniem prostego oscylatora harmonicznego ze stałym wymuszeniem, a ogólne rozwiązanie to

${\ Displaystyle u (t) = {\ Frac {a} {k ^ {2}}} + A \ sin (kt + B) ,}$

gdzie A i B są wybrane tak, aby odpowiadały warunkom początkowym. Zakłada się , że rozwiązanie zaburzonego równania (gdy ε ≠ 0) ma tę samą postać, ale teraz A i B mogą zmieniać się wraz z t (i ε ). Jeśli zakłada się również, że

${\ Displaystyle {\ Frac {du} {dt}} = kA (t) \ cos (kt + B (t)) ,}$

wtedy można wykazać, że A i B spełniają równanie różniczkowe:

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}}} {\ początek {bmatrix} A \\ B \ koniec {bmatrix}} = {\ Frac {\ varepsilon} {k}} f \ lewo ({\ frac {a }{k^{2}}}+A\sin(\phi ),kA\cos(\phi )\right){\begin{bmatrix}\cos(\phi )\\-{\frac {1}{ A}}\sin(\phi )\end{bmatrix}},}$

gdzie ${\ Displaystyle \ phi = kt + B}$ . Zauważ, że to równanie jest nadal dokładne — nie dokonano jeszcze żadnego przybliżenia. Metoda Kryłowa i Bogolyubova polega na zauważeniu, że funkcje A i B zmieniają się powoli w czasie (proporcjonalnie do ε), więc ich zależność od $przybliżeniu$ ) usunąć, uśredniając po prawej stronie poprzedniego równania:

$\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} {\ rozpocząć {bmatrix} A_ {0} \\ B_ {0} \ koniec {bmatrix}} = {\ Frac {\ varepsilon} {2 \ pi k} }\int _{0}^{2\pi }f\left({\frac {a}{k^{2}}}+A_{0}\sin(\theta ),kA_{0}\cos( \theta )\right){\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\-{\frac {1}{A_{0}}}\sin(\theta)\end{bmatrix}}d\theta , }$

gdzie i $są utrzymywane$$stałe$ podczas integracji Po rozwiązaniu tego (prawdopodobnie) prostszego zestawu równań różniczkowych, uśrednione przybliżenie Kryłowa-Bogolubowa dla pierwotnej funkcji jest następnie podane przez

${\ Displaystyle u_ {0} (t, \ varepsilon): = {\ Frac {a} {k ^ {2}}} + A_ {0} (t, \ varepsilon) \ sin (kt + B_ {0} ( t,\varepsilon )).}$

Wykazano, że to przybliżenie spełnia

${\ Displaystyle \ lewo | u (t, \ varepsilon) -u_ {0} (t, \ varepsilon) \ prawo | \ równoważnik C_ {1} \ varepsilon,}$

gdzie t spełnia

${\ Displaystyle 0 \ równoważnik t \ równoważnik {\ Frac {C_ {2}} {\ varepsilon}}}$

dla niektórych stałych $\$ niezależnych od ε $displaystyle C_ {1}} .$