Pojedyncze zaburzenie

W matematyce problem pojedynczego zaburzenia perturbacyjnego to problem zawierający mały parametr, którego nie można przybliżyć, ustawiając wartość parametru na zero. Mówiąc dokładniej, rozwiązania nie można równomiernie przybliżyć przez asymptotyczne rozwinięcie

{\ Displaystyle \ varphi (x) \ w przybliżeniu \ suma _ {n = 0} ^ {N} \ delta _ {n} (\ varepsilon )\psi _{n}(x)\,}

jak ${\ Displaystyle \ varepsilon \ do 0}$ . Tutaj $\ varepsilon} jest$ $}$ parametrem problemu i sekwencją funkcji rosnących ${\ Displaystyle \$ $}}$ = . Jest to w przeciwieństwie do regularnych problemów perturbacyjnych, dla których można uzyskać jednolite przybliżenie tej postaci. Pojedynczo zaburzone problemy charakteryzują się na ogół dynamiką operującą w wielu skalach. Poniżej przedstawiono kilka klas pojedynczych zaburzeń.

Termin „pojedyncze zaburzenie” został ukuty w latach czterdziestych XX wieku przez Kurta Otto Friedrichsa i Wolfganga R. Wasowa .

Metody analizy

Problem zaburzony, którego rozwiązanie można przybliżyć w całej dziedzinie problemu, czy to w przestrzeni, czy w czasie, za pomocą pojedynczego rozwinięcia asymptotycznego, ma zaburzenie regularne . Najczęściej w aplikacjach akceptowalne przybliżenie regularnie zaburzonego problemu $można$ znaleźć, po prostu zastępując mały parametr zero wszędzie w opisie problemu. Odpowiada to wzięciu tylko pierwszego wyrazu rozwinięcia, dając przybliżenie, które zbiega się, być może powoli, do prawdziwego rozwiązania, ponieważ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ maleje. Rozwiązanie pojedynczo zaburzonego problemu nie może być przybliżone w ten sposób: Jak widać na poniższych przykładach, pojedyncza perturbacja zwykle występuje, gdy mały parametr problemu mnoży jego najwyższy operator. Tak więc naiwne przyjmowanie parametru na zero zmienia samą naturę problemu. W przypadku równań różniczkowych warunki brzegowe nie mogą być spełnione; w równaniach algebraicznych zmniejsza się możliwa liczba rozwiązań.

Teoria perturbacji osobliwych jest bogatym i stale rozwijanym obszarem zainteresowań matematyków, fizyków i innych badaczy. Metod stosowanych w rozwiązywaniu problemów w tej dziedzinie jest wiele. Bardziej podstawowe z nich to metoda dopasowanych rozwinięć asymptotycznych i przybliżenie WKB dla problemów przestrzennych, aw czasie metoda Poincaré-Lindstedta , metoda wielu skal i okresowego uśredniania. Dużą popularnością cieszą się również metody numeryczne rozwiązywania problemów z zaburzeniami osobliwymi.

Książki na temat pojedynczych perturbacji w ODE i PDE można znaleźć na przykład w Holmes, Wprowadzenie do metod perturbacji , Hinch, Metody perturbacji lub Bender i Orszag , Zaawansowane metody matematyczne dla naukowców i inżynierów .

Przykłady pojedynczych problemów perturbacyjnych

Każdy z przykładów opisanych poniżej pokazuje, jak naiwna analiza perturbacji, która zakłada, że problem jest regularny, a nie pojedynczy, zakończy się niepowodzeniem. Niektóre pokazują, jak problem można rozwiązać bardziej wyrafinowanymi metodami osobliwymi.

Znikające współczynniki w równaniach różniczkowych zwyczajnych

Równania różniczkowe, które zawierają mały parametr, który wstępnie mnoży składnik najwyższego rzędu, zazwyczaj wykazują warstwy graniczne, tak że rozwiązanie ewoluuje w dwóch różnych skalach. Rozważmy na przykład problem z wartościami granicznymi

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} \ varepsilon u ^ {\ prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)=-e^{-x},\ \ 0<x<1\\u(0)=0,\ \ u(1)=1 .\koniec {macierz}}}

Jego rozwiązaniem, gdy $poniżej$ ciągłą pokazaną Zauważ, że rozwiązanie zmienia się szybko w pobliżu początku układu współrzędnych. Gdybyśmy naiwnie ustawili $x$ rozwiązanie oznaczone poniżej „zewnętrzne”, które nie modeluje warstwy granicznej, dla której jest bliskie zeru. Aby uzyskać więcej informacji, które pokazują, jak uzyskać jednolicie ważne przybliżenie, zobacz metodę dopasowanych rozwinięć asymptotycznych .

Przykłady w czasie

Manipulator robota napędzany elektrycznie może mieć wolniejszą dynamikę mechaniczną i szybszą dynamikę elektryczną, wykazując w ten sposób dwie skale czasowe. W takich przypadkach możemy podzielić system na dwa podsystemy, jeden odpowiadający szybszej dynamice, a drugi odpowiadający wolniejszej dynamice, a następnie zaprojektować kontrolery dla każdego z nich z osobna. Dzięki pojedynczej technice perturbacji możemy uniezależnić te dwa podsystemy od siebie, upraszczając w ten sposób problem sterowania.

Rozważmy klasę systemów opisaną następującym zestawem równań:

{\ Displaystyle {\ kropka {x}} _ {1} = f_ {1} (x_ {1} },x_{2})+\varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}

{\ Displaystyle \ varepsilon {\ kropka {x}} _ {2} = f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}) + \ varepsilon g_ {2} ( x_ {1}, x_ {2}, \ varepsilon), \,}

{\ Displaystyle x_ {1} (0) = a_ {1}, x_ {2}(0)=a_{2},\,}

z ${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon \ ll 1}$ . Drugie równanie $}$ { \ ${1}$ . Twierdzenie Tichonowa stwierdza, że przy prawidłowych warunkach w systemie początkowo i bardzo szybko przybliży rozwiązanie równań

{\ Displaystyle {\ kropka {x}} _ {1} = f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}), \,}

{\ Displaystyle f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}) = 0, \,}

{\ Displaystyle x_ {1} (0 )=a_{1},\,}

w pewnym przedziale czasu i że w miarę $zera$ system będzie zbliżał się do rozwiązania bliżej w tym samym przedziale.

Przykłady w kosmosie

W mechanice płynów właściwości lekko lepkiego płynu są diametralnie różne na zewnątrz i wewnątrz wąskiej warstwy granicznej . Zatem płyn wykazuje wiele skal przestrzennych.

Systemy reakcji-dyfuzji , w których jeden odczynnik dyfunduje znacznie wolniej niż inny, mogą tworzyć przestrzenne wzory oznaczone obszarami, w których odczynnik istnieje, i obszarami, w których go nie ma, z ostrymi przejściami między nimi. W ekologii modele drapieżnik-ofiara, np

{\ Displaystyle u_ {t} = \ varepsilon u_ {xx} + uf (u) -vg (u), \,}

{\ Displaystyle v_ {t} = v_ {xx} + vh (u), \,}

gdzie $.$ ofiarą i $,$ wykazano, że wykazują takie wzorce

Równania algebraiczne

Rozważ problem znalezienia wszystkich pierwiastków wielomianu ${\ Displaystyle p (x) = \ varepsilon x ^ {3} -x ^ {2} + 1}$ . $\ Displaystyle$ granicy ten sześcienny do kwadratu z korzeniami przy $\ varepsilon \ do$ ${\ displaystyle x = \ pm 1}$ . Zastąpienie regularnego szeregu zaburzeń

{\ Displaystyle x (\ varepsilon) = x_ {0} + \ varepsilon x_ {1} + \ varepsilon ^ {2} x_ {2} + \ kropki }

w równaniu i zrównanie równych potęg daje tylko poprawki do tych dwóch pierwiastków: ${\ displaystyle \ varepsilon}$

{\ Displaystyle x (\ varepsilon) = \ pm 1 + {\ Frac {1} {2}} \ varepsilon \ pm {\ Frac {5} {8}} \ varepsilon ^ {2} + \ cdots.}

Aby znaleźć drugi pierwiastek, należy zastosować analizę pojedynczych zaburzeń. Musimy wtedy poradzić sobie z faktem, że równanie degeneruje się do kwadratu, gdy pozwolimy $dążyć$ zera, w tej granicy jeden z pierwiastków ucieka do nieskończoności. Aby ten pierwiastek nie stał się niewidoczny dla analizy perturbacyjnej, musimy przeskalować, $.$ śledzić ten uciekający pierwiastek, tak aby pod względem przeskalowanych zmiennych nie uciekł Definiujemy przeskalowaną zmienną ${\ Displaystyle x = {\ Frac {y} {\ varepsilon ^ {\ nu}}}}$ gdzie wykładnik zostanie wybrany tak, że przeskalujemy wystarczająco szybko, aby pierwiastek był skończony ${\ displaystyle \ nu}$ wartość $do zera, ale taka$ jest ograniczona $, aby nie zapadła się do zera$ gdzie skończą się pozostałe dwa pierwiastki. Pod $_$ mamy

{\ Displaystyle y ^ {3} - \ varepsilon ^ {\ nu -1} y ^ {2} + \ varepsilon ^ {3 \ nu - 1}=0.}

Widzimy, że dla y $\ displaystyle$ $y ^ {3}}$ dominują wyrazy niższego stopnia, podczas gdy $1$ } staje się tak dominujący jak $termin,$ gdy obaj dominują w pozostałym okresie Ten punkt, w którym termin najwyższego rzędu nie będzie już znikał w granicy ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ do zera, stając się jednakowo dominującym innym terminem, nazywa się znaczącą degeneracją; daje to prawidłowe przeskalowanie, aby pozostały rdzeń był widoczny. Ten wybór daje

{\ Displaystyle y ^ {3} -y ^ {2} + \ varepsilon ^ {2} = 0.}

Podstawianie serii perturbacji

{\ Displaystyle y (\ varepsilon) = y_ {0} + \ varepsilon ^ {2} y_ {1} + \ varepsilon ^ {4} y_ {2}+\cdots}

plony

{\ displaystyle y_ {0} ^ {3} -y_ {0} ^ {2} = 0.}

Jesteśmy wtedy zainteresowani korzeniem w ${\ displaystyle y_ {0} = 1}$ ; podwójny pierwiastek w punkcie ${\ displaystyle y_ {0}=0}$ to dwa pierwiastki, które znaleźliśmy powyżej tego załamania do zera w granicy nieskończonego przeskalowania. Obliczenie pierwszych kilku wyrazów szeregu daje następnie plony

{\ Displaystyle x (\ varepsilon) = {\ Frac {y (\ varepsilon)}} {\ varepsilon}} = {\ Frac {1} {\ varepsilon}} - \ varepsilon -2 \ varepsilon ^ {3} + \ cdots .}

Bibliografia _ _ _ _ _ _ _ _
Bibliografia _ Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2010). „Racjonalna metoda kolokacji widmowej do rozwiązywania klasy sparametryzowanych problemów z pojedynczymi zaburzeniami” . Journal of Computational and Applied Mathematics . 233 (10): 2652–2660. doi : 10.1016/j.cam.2009.11.011 .
^ Holmes, Mark H. Wprowadzenie do metod zaburzeń . Springer, 1995. ISBN 978-0-387-94203-2
^ Hinch, EJ Metody perturbacji . Cambridge University Press, 1991. ISBN 978-0-521-37897-0
^ Bender, Carl M. i Orszag, Steven A. Zaawansowane metody matematyczne dla naukowców i inżynierów . Springer, 1999. ISBN 978-0-387-98931-0
^ Tichonow, AN (1952), „Układy równań różniczkowych zawierające mały parametr mnożący pochodną” (po rosyjsku), Mat. Śr. 31 (73), s. 575–586
Bibliografia _ Metody i zastosowania pojedynczych perturbacji: warstwy graniczne i dynamika wielu skali czasu , Springer, 2005. ISBN 0-387-22966-3 .
^ Owen, MR i Lewis, MA „Jak drapieżnictwo może spowolnić, zatrzymać lub odwrócić inwazję zdobyczy”, Bulletin of Mathematical Biology (2001) 63, 655-684.

[1] Bibliografia _ _ _ _ _ _ _ _

[WCW10-2] Bibliografia _ Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2010). „Racjonalna metoda kolokacji widmowej do rozwiązywania klasy sparametryzowanych problemów z pojedynczymi zaburzeniami” . Journal of Computational and Applied Mathematics . 233 (10): 2652–2660. doi : 10.1016/j.cam.2009.11.011 .

[holmes-3] Holmes, Mark H. Wprowadzenie do metod zaburzeń . Springer, 1995. ISBN 978-0-387-94203-2

[hinch-4] Hinch, EJ Metody perturbacji . Cambridge University Press, 1991. ISBN 978-0-521-37897-0

[BO-5] Bender, Carl M. i Orszag, Steven A. Zaawansowane metody matematyczne dla naukowców i inżynierów . Springer, 1999. ISBN 978-0-387-98931-0

[Tikhonov-6] Tichonow, AN (1952), „Układy równań różniczkowych zawierające mały parametr mnożący pochodną” (po rosyjsku), Mat. Śr. 31 (73), s. 575–586

[verhulst-7] Bibliografia _ Metody i zastosowania pojedynczych perturbacji: warstwy graniczne i dynamika wielu skali czasu , Springer, 2005. ISBN 0-387-22966-3 .

[8] Owen, MR i Lewis, MA „Jak drapieżnictwo może spowolnić, zatrzymać lub odwrócić inwazję zdobyczy”, Bulletin of Mathematical Biology (2001) 63, 655-684.