Metryka Sasakiego

Metryka Sasakiego jest naturalnym wyborem metryki riemannowskiej na wiązce stycznej rozmaitości riemannowskiej. Wprowadzony przez Shigeo Sasakiego w 1958 roku.

Budowa

Niech $g)}$${\ Displaystyle M}$$wiązkę$ , będzie rozmaitością Riemanna , oznaczmy styczną nad . Metryka Sasakiego jest jednoznacznie definiowana przez następujące właściwości: $}$$}$ displaystyle {\ kapelusz {g

• Mapa jest zanurzeniem Riemanna . ${\ Displaystyle \ tau \ okrężnica \ operatorname {T} M \ do M}$ .
• Metryka w każdej przestrzeni stycznej jest metryką euklidesową indukowaną przez $}$$\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {p} \ subset \ operatorname {T} M$ .
• Załóżmy, że $\ in \ operatorname {T$$( t$ w i $∈$ jest równoległym polem wektorowym wzdłuż ${\ displaystyle \ gamma}$ . Zauważ, że ${\ Displaystyle v (t)}$ tworzy krzywą w ${\ Displaystyle \ operatorname {T} M}$ . Dla metryki Sasakiego mamy ${\ Displaystyle v' (t) \ sprawca \ operatorname {T} _ {\ gamma (t)}}$ dla dowolnego ${\ displaystyle t}$ ; $\ podzbiór \ operatorname {T} M}$ ) ⊂ $Displaystyle$ .

• S. Sasaki, O geometrii różniczkowej wiązki stycznej rozmaitości Riemanna, Tôhoku Math. J.,10 (1958), 338-354.