Model Fermiego-Ulama

Fermiego -Ulama (FUM) to system dynamiczny wprowadzony przez polskiego matematyka Stanisława Ulama w 1961 roku.

FUM jest odmianą podstawowej pracy Enrico Fermiego nad przyspieszeniem promieni kosmicznych , a mianowicie przyspieszeniem Fermiego . Układ składa się z cząstki zderzającej się elastycznie między ścianą stałą a ścianą ruchomą, z których każda ma nieskończoną masę. Ściany reprezentują zwierciadła magnetyczne , z którymi zderzają się cząstki kosmiczne .

AJ Lichtenberg i MA Lieberman dostarczyli uproszczoną wersję FUM (SFUM), która wywodzi się z powierzchni przekroju Poincarégo ${\ displaystyle x = const.}$ i pisze

{\ Displaystyle u_ {n + 1} = | u_ {n} + U _ {\ operatorname {ściana}} (\ varphi _ {n}) |}

\ Displaystyle \ varphi _ {n + 1} = \ varphi _ {n} + {\ Frac {kM} {u_ {n + 1}}} {\ pmod {k}}}

gdzie jest prędkością cząstki po $displaystyle$ $}$ ${$ \ u_ ruchoma ściana $prawem$ prędkości ruchomej $jest$ .

Jeśli prawo prędkości ruchomej ściany jest wystarczająco różniczkowalne, zgodnie z twierdzeniem KAM istnieją niezmienne krzywe w przestrzeni fazowej ${\ Displaystyle (\ varphi, u)} .$ Te niezmienne krzywe działają jak bariery, które nie pozwalają cząstce na dalsze przyspieszanie, a średnia prędkość populacji cząstek nasyca się po skończonych iteracjach mapy. Na przykład dla sinusoidalnego prawa prędkości poruszającej się ściany takie krzywe istnieją, podczas gdy nie istnieją dla prawa prędkości piłokształtnej, które jest nieciągłe. W konsekwencji w pierwszym przypadku cząstki nie mogą przyspieszać w nieskończoność, odwrotnie do tego, co dzieje się w ostatnim.

Z biegiem lat FUM stał się prototypowym modelem do badania dynamiki nieliniowej i odwzorowań sprzężonych .

Rygorystyczne rozwiązanie problemu Fermiego-Ulama (prędkość i energia cząstki są ograniczone) zostało po raz pierwszy podane przez LD Pustyl'nikova w (patrz także i odnośniki tam).

Pomimo tych negatywnych wyników, jeśli weźmie się pod uwagę model Fermiego-Ulama w ramach szczególnej teorii względności , to w pewnych ogólnych warunkach energia cząstki dąży do nieskończoności dla otwartego zbioru danych początkowych.

Uogólnienie 2D

bilardach 2D z oscylującymi granicami zaobserwowano nieograniczony wzrost energii. Stwierdzono, że tempo wzrostu energii w bilardzie chaotycznym jest znacznie większe niż w bilardzie, które są całkowalne w granicy statycznej.

Silnie chaotyczny bilard z oscylującą granicą może służyć jako paradygmat dla napędzanych systemów chaotycznych. Na arenie eksperymentalnej temat ten pojawia się w teorii tarcia jądrowego , a ostatnio w badaniach zimnych atomów uwięzionych w optycznym stole bilardowym . Jazda powoduje dyfuzję energii, w związku z czym współczynnik absorpcji określa wzór Kubo.

Linki zewnętrzne

Dynamika regularna i chaotyczna : szeroko uznana książka naukowa poświęcona FUM, napisana przez AJ Lichtenberga i MA Liebermana ( Appl. Math. Sci. tom 38) (New York: Springer ).